- Теоретические основы акустики
- Гармонические колебания
- Механические колебания
- Свободные колебания
- Вынужденные колебания
- Автоколебания
- Характеристики колебаний
- Гармонические колебания
- Математический маятник
- Пружинный маятник
- Закон сохранения энергии для гармонических колебаний
- Что такое добротность колебательного контура? как измерить добротность в радиолюбительских условиях.
- Параметры Тиля – Смолла. а именно что такое: fs, qes, qms, qts, vas
Теоретические основы акустики
МИНИСТЕРСТВО КУЛЬТУРЫ РФ
Федеральное государственное образовательное учреждение
УНИВЕРСИТЕТ КИНО И ТЕЛЕВИДЕНИЯ»
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АКУСТИКИ
Учебное пособие по дисциплине «Теоретические основы акустики»
для студентов заочного факультета специальности
, Уваров основы акустики: Учебное пособие. – СПб.: СПбГУКиТ, 2010.
В соответствии с учебной программой весь курс дисциплины «Теоретические основы акустики» включает в себя вопросы, связанные с изучением трех основных разделов дисциплины: механических колебательных систем, звукового поля и психофизики слуха.
В настоящем пособии излагаются вопросы, посвященные изучению первого раздела дисциплины, а, именно, механическим колебательным системам. В пособии приведены основные математические соотношения, применяемые при анализе колебательных процессов, происходящих в механических и акустических колебательных системах и их физическая интерпретация. Показано построение механических моделей механико-акустических систем и их электрических аналогов.
Рассмотрены также распределенные механические системы и способы их замещения сосредоточенными.
Приведены различные примеры использования механических и акустических систем в реальных конструкциях электроакустических аппаратов.
Учебное пособие, в основном, предназначено для студентов заочной формы обучения специальности «Аудиовизуальная техника».
Рецензент: к. т.н., профессор
Рекомендовано к изданию советом факультета аудиовизуальной техники СПбГУКиТ. Протокол № от.
Учебное пособие по дисциплине «Теоретические основы акустики» предназначено для студентов заочной формы обучения специальности «Аудиовизуальная техника».
Изложенный в пособии материал охватывает в доступной для понимания форме содержание одного из разделов дисциплины, а именно, вопросы, связанные с изучением механических колебательных систем.
Раздел механических колебательных систем включает, в основной своей части, рассмотрение колебательных процессов в системах с сосредоточенными параметрами, а также основные параметры и характеристики систем с распределенными параметрами.
В пособии подробно рассмотрен вывод уравнения колебаний простой механической колебательной системы (ПМКС) и его решение для свободного и вынужденного режимов. Приведены параметры и характеристики системы в режимах свободных и вынужденных колебаний.
Рассмотрены колебательные процессы в акустических колебательных системах. Получены соотношения, связывающие параметры гибкости, массы и активного сопротивления с конструктивными размерами акустической системы. Тем самым показан способ оперативной настройки резонансной частоты резонатора Гельмгольца.
Приведены примеры конкретных механико-акустических аппаратов, конструкции которых содержат акустические и механические колебательные системы.
Рассмотрены способы построения механических моделей механико-акустических систем и их электрических аналогов.
Рассмотрены вопросы трансформации в механических и акустических системах и выведены соответствующие соотношения для приведенных параметров таких систем.
Рассмотрены основные параметры и характеристики распределенных колебательных систем, их отличия от сосредоточенных. Приведены способы замещения распределенных систем сосредоточенными с соответствующим вычислением эквивалентных параметров.
Материал, изложенный в учебном пособии, предназначен для студентов заочной формы обучения по специальности «Аудиовизуальная техника» и может быть также интересен специалистам, работающим в области производства и эксплуатации аудиовизуальной аппаратуры.
1. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
1.1. Простая механическая колебательная система. Уравнение колебаний
Простая механическая колебательная система (ПМКС) или механический осциллятор является составной частью практически любого электроакустического аппарата. Поэтому детальное исследование колебательных процессов в механических осцилляторах позволяет более осмысленно подойти к пониманию процессов, происходящих в более сложных колебательных системах и в целом, в электроакустической аппаратуре. ПМКС состоит из поршня, подвешенного на пружине к опоре ( рис. 1.1 а ), или закрепленного на опоре с помощью гибкого воротника (рис. 1.1 б).
а) б)
Рис.1.1. Примеры простых механических колебательных систем: а) – поршень, подвешенный на пружине; б) – поршень, закрепленный в гибком воротнике
Рассмотрим колебания поршня, совершаемые под действием силы F (t) [1]. Для составления уравнения колебаний системы воспользуемся принципом Даламбера, согласно которому сумма внешних сил, действующих на систему, находящуюся в динамическом равновесии, равна сумме реакций ее элементов.
В рассматриваемом случае сила F (t) в каждый момент времени встречает противодействие системы, обусловленное несколькими причинами.
1. Инерцией поршня, пропорциональной его массе m и приобретенному ускорению ξ»
где ξ – смещение поршня, м.
2. Упругостью подвеса, пропорциональной смещению его концов (в предположении, что деформации не переходят за пределы закона Гука)
где s – упругость подвеса, а с = 1/s – гибкость подвеса, м/Н.
3. Реакцией трения. В принципе, в системе возможно существование трех видов трения: сухого, вязкого и внутреннего.
Реакция сухого трения возникает при непосредственном (сухом) контакте движущихся элементов. Колебательная система при наличии в ней сухого трения является существенно нелинейной, поэтому сухое трение в электроакустической аппаратуре считается недопустимым. По этой причине мы не будем его рассматривать.
Вязкое трение возникает между двумя движущимися поверхностями, отделенными друг от друга слоем жидкости или газа. При относительно небольших скоростях эту реакцию можно считать пропорциональной первой степени скорости, то есть
F31(t) = rвязк ── = rвязк ξ’, где rвязк – коэффициент вязкого трения,
численно равный реакции при единичной скорости движения тела, Нс/м.
Кроме вязкого трения, в системе всегда присутствует реакция внутреннего трения, которая образуется в упругом элементе подвеса: периодические деформации пружины сопровождаются относительными смещениями частиц материала, из которого она изготовлена, что приводит к необратимым потерям энергии. Также как реакция вязкого трения, этот вид потерь пропорционален колебательной скорости
В связи с этим, оба вида реакции трения объединяют обычно в один:
F3(t) = F31(t) + F311(t) = r ξ’, где r = rвязк + rвнутр.
Таким образом, в соответствии с принципом Даламбера имеем
Подставив сюда значения сил, получим
Уравнение (1.1) и есть уравнение колебаний ПМКС под действием произвольной силы F(t). Оно представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение позволяет определить смещение системы в каждый момент времени t.
1.2. Собственные (свободные) колебания ПМКС
1.2.1. Д и с с и п а т и в н а я с и с т е м а
Если в уравнении (1.1) положить F(t) = 0, то уравнение примет вид
Это уравнение собственных (свободных) колебаний диссипативной системы (поскольку присутствует слагаемое с r). Его решение ищем в виде [2]:
где А’ – комплексная величина, модуль которой равен амплитуде смещения ξ0.
Уравнение (1.2) примет вид
к2m А’ еjк + rк А’ еjк + А’ еjк/с = 0,
Это характеристическое уравнение, в котором δ = r/2m – коэффициент затухания собственных колебаний системы; ω02 = 1/mc. Его решение для к:
ωc = (ω02 – δ2)1/2 – собственная частота колебаний диссипативной колебательной системы.
ξ = А’e-δt ( ејωсt + е –јωсt).
Здесь ξ0 = 2 ξ01; α = arctg ωct = arctg 2πt/T – начальная фаза колебаний. Период Т = 1/f функции sin (ωct + α), считают условным периодом собственных колебаний, хотя, строго говоря, в силу убывания амплитуды, они не могут называться периодическими. С течением времени собственная частота понижается.
Круговая частота свободных колебаний ωc, или собственная частота осциллятора определяется всеми тремя параметрами системы: массой, гибкостью и трением.
Физический смысл величин ξ0 и α понятен из рис. 1.2.
Рис. 1.2 График собственных колебаний диссипативной системы
Уменьшение амплитуды свободных колебаний со временем выражается экспоненциальным законом ξ0 e-δt, причем амплитуда уменьшается в е раз (е = 2,72 ) в течение времени τ = 1/ δ секунд. Этот промежуток времени определяет скорость затухания колебаний и называется постоянной времени системы. На рис. 1.3 показаны кривые затухания свободных колебаний двух систем, имеющих одинаковую постоянную времени τ, но разные периоды свободных колебаний Т1 и Т2.
Рис. 1.3 Собственные колебания двух диссипативных систем
При одинаковых τ система (а) совершила больше колебательных циклов в течение времени t, чем система (б). Это значит, что диссипативные силы в случае (б) больше, чем в (а). Для их количественной оценки ввели понятие декремента затухания d, характеризующего уменьшение амплитуды колебаний за один период. Математически он выражается натуральным логарифмом отношения двух последовательных амплитуд, разделенных промежутком времени, равным одному периоду, то есть
Декремент затухания равен единице, если за время Т амплитуда колебаний уменьшится в е раз. Эта единица получила название непер.
В формуле для собственной частоты ωc= (ω02 – δ2)1/2 значение ωc зависит от величины коэффициента затухания δ.
Гармонические колебания
9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Механические колебания
Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.
Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.
Свободные колебания
Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.
Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.
Вынужденные колебания
А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.
Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.
Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.
Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.
Автоколебания
Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.
У автоколебательной системы есть три важных составляющих:
Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.
Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.
Характеристики колебаний
Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.
Формула периода колебаний
T = t/N
N — количество колебаний [-]
Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.
Формула частоты
ν = N/t = 1/T
N — количество колебаний [-]
Она используется в уравнении гармонических колебаний:
Гармонические колебания
Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:
Уравнение гармонических колебаний
x — координата в момент времени t [м]
t — момент времени [с]
2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ
Фаза колебаний
t — момент времени [с]
Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.
На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.
На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.
Математический маятник
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.
Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.
Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:
Формула периода колебания математического маятника
g — ускорение свободного падения [м/с^2]
На планете Земля g = 9,8 м/с2
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.