Что такое параметр
Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))
Приветствую будущих студентов!
Я заметила, что на своем YouTube- канале я разбирала несколько задач с параметрами, но так и не рассказала, что такое параметр.
Толковый словарь русского языка, куда полезно иногда заглядывать, дает следующее определение: «Параметр – это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса». Что же это значит? Давайте разберемся.
Вот ракете выводит космический корабль в околоземное пространство. Если спутник запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту. Первый искусственный спутник Земли, СССР, 1957 год. Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, и космический корабль преодолевает поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно 16,7 км/с, дает космическому кораблю возможность выйти за пределы Солнечной системы и преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца. Например, такой космический корабль, который назывался «Вояджер-1», был запущен в 1977 году, и в 2012 году вышел за пределы Солнечной системы, и теперь будет вечно бороздить просторы космоса. Этот корабль передал на Землю сигналы и снимки отдаленных планет. Кроме аппаратуры, он несет на своем борту золотой диск. На этом диске записаны звуковые и видеосигналы. Например, схема излучения атома водорода, местоположение Солнца, человек и его строение, земные пейзажи, шум моря, звук шагов, песни птиц, приветствие на разных языках, музыка, даже грузинский хор; плач ребенка, голос мамы, которая его успокаивает. Это подарок неизвестным существам от маленького, затерянного во Вселенной, мира нашей планеты. И может быть когда-нибудь они обнаружат этот корабль, расшифруют наше послание и узнают о нас.
Значит скорость космического корабля – это параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба, и конечно, это не единственный параметр. При запуске космического корабля таких параметров десятки и сотни.
Реальные задачи науки и техники используют функции не одной, а многих переменных: и первые-вторые, и энные производные этих функций.
А что же будет если какой-то параметр рассчитан неправильно?
Помните, как появилось выражение «Кажется, что-то пошло не так»? Эти слова вырвались у комментатора, который вел прямую трансляцию о запуске космического корабля, и через несколько секунд после старта увидел, что ракета, вместо того, чтобы устремиться к звездам, по параболе направилась к Земле.
Но, конечно, мы начнем не со сложных функций многих переменных, а с чего-то очень-очень простого.
На картинке мы видим параболу и ее формулу, С – это параметр. На что он влияет? Посмотрите, здесь С равно 0, и парабола проходит через начало координат. С равно 2, и парабола поднимается на 2 вверх по вертикале. С равно – 3, и парабола опускается по вертикале на 3 единицы.
Значит параметр – это такая переменная в уравнении, которая может принимать разные значения, и при разных значениях этой переменной мы получаем разные уравнения.
В заданиях ЕГЭ у вас есть задачи с параметром. Это задача №18 профильного раздела.
И сейчас я покажу самую простую иллюстративную задачу. Проще тех, которые будут на ЕГЭ, но зато ее можно красиво нарисовать.
При каком значении параметра с уравнение, которое вы видите на экране имеет ровно 6 корней?
Давайте нарисуем график левой части этого уравнения. Начнем с графика функции. Сначала сдвигаем его на 2 вправо. Затем вычитаем 3, график сдвигается на 3 единицы вниз. Снова берем модуль от получившегося выражения. Все, что было ниже оси абсцисс, переворачивается вверх. Далее все, что получилось, мы сдвигаем на 1 единицу вниз. И снова берем модуль. Все, что было ниже абсцисс, переворачивается вверх. И получаем график функции, похожий на Кавказские горы.
При каком же значении параметра с это уравнение имеет ровно 6 корней? Проведем горизонтальную прямую. Следовательно, с равно 1.
Это была самая простая задача с параметром. Чтобы научиться решать такие задачи, нужно отлично знать графики основных элементарных функций, преобразование графиков, базовые элементы для решения задач с параметрами и еще множество приемов и секретов.
Подписывайтесь на мой канал и переходите по ссылкам в описании!
Что такое параметр? Простые задачи с параметрами
Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2022 года это №17. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?
Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».
Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.
Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?
Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.
Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.
А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».
Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.
1. Теперь пример из школьной математики.
Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.
Дискриминант квадратного уравнения:
Если 
, квадратное уравнение имеет два корня: и
Если 
, то есть с > 1, корней нет.
В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.
Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.
И еще две простые задачи с параметром.
2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.
Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .
Найдем дискриминант уравнения
Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).
Разложим левую часть неравенства на множители:
Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и
3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?
Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:
Решение задач с параметрами в курсе алгебры. 7–9-е классы
Разделы: Математика
В курсе алгебры 7 класса в параграфе «Линейное уравнение с одной переменной» следует разобрать решение уравнения ах = в с неизвестным х как уравнение параметрами а и в. Здесь учащихся следует познакомить с понятием «параметры» (те переменные а, в, с, :, которые при решении уравнения считаются постоянными, или те коэффициенты, которые заданы не конкретными числами, а обозначены буквами).
На уроках обобщения, следующих за этим параграфом возможно разобрать решение линейного уравнения ах + в = с с неизвестным х и параметрами а, в, с.
В течение учебного года можно предлагать для решения задания следующего типа.
Знакомить учащихся с решением систем линейных уравнений с параметрами следует начинать после изучения параграфа «Системы линейных уравнений с двумя переменными», котором разбирается графический способ решения систем линейных уравнений.
Предлагаются следующие задания.
Подобрать значения параметров а и в, чтобы:
а) система имела единственное решение;
б) система не имела решений
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Работая с последней системой, следует подробнее разобрать ответы на поставленные вопросы.
Решение. 1) если 
, то система примет вид
если 
т.е. 
система имеет единственное решение;
если 
= 
и 
т.е. 
и 
система не имеет решения;
2) если 
система примет вид 
и имеет единственное решение.
Ответ: если 
система имеет единственное решение;
если 
, 
, то система не имеет решения.
Решите систему уравнений с параметрами к и р, если 
:
1) 
2) 
Решение первой системы получается из знания взаимного расположения графиков линейных функций ( Ответ: (0;3)), решение второй системы предполагает умение решать системы линейных уравнений аналитическим методом.
При всех значениях параметра а решить систему уравнений 
1) если 
, т.е. 
, то данная система равносильна 
Решите систему уравнений с двумя неизвестными х и у:
3) 
Ответ: при 
, то х=а-1, у=а;
Задачи с параметрами для решения в 8 классе предполагают знания по теме «Квадратные уравнения», «Дробные рациональные уравнения», «Неравенства».
Задачи с параметрами, дополняющие список задач из учебника к теме «Квадратные уравнения».
Найдите к и второй корень уравнения:
Найдите все числа р и с такие, что корни уравнения х 2 + рх + с =0, равны р и с.
Решите уравнение ах 2 =1.
Задания с параметрами, предлагаемые для выполнения после изучения темы «Неравенства».
1. Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (а+1)х 2 + 2(а+1)х+а-2=0 а) имеет два различных корня;
в) имеет два равных корня.
3. Решите уравнение ах 2 + 2х + 1 = 0.
а) имеет два различных корня;
5. Найдите все значения параметра а, для которых уравнение имеет единственный корень
б) ах 2 + (4а+2)х + 3а + 3/2 = 0.
После изучения главы I «Рациональные дроби» можно предлагать учащимся решать более сложные системы линейных уравнений с параметрами.
1. При всех значениях параметров а и в решить систему
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6)
если 
, 
, то 
;
Ответ: если 
, то (
; 
)
В 9 классе представляется целесообразным после изучения главы I «Квадратичная функция» вернуться к решению уравнений второй степени с параметрами, предлагая учащимся для решения задания следующего типа.
1. Решите квадратные уравнения.
2) ах 2 + (а + 1)х +а 2 +а = 0;
3) ах 2 + 2х(а + 1) + а +3 = 0;
2. Найдите все значения а, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.
4. Найдите все значения в, при которых уравнение имеет два различных корня.
В конце учебного года в 9 классе на уроках «Повторение:» нужно познакомить учащихся с графическим методом решения уравнений 2-ой степени с параметрами, научить распознавать положение параболы на плоскости в зависимости от коэффициентов.
Для этого необходимо напомнить:
Знак коэффициента а показывает направление ветвей параболы;
Указанные свойства парабол позволяют получить следующие факты, касающиеся расположения корней квадратного трехчлена на числовой оси.
1. Корни квадратного трехчлена х1 и х2 (f(х) = ах 2 +вх+с) будут строго меньше числа М, если выполняются следующие условия (очевидные, благодаря рисунку).
2. Если М I R, то х1 0
a>0, f(M) 2 +вх+с принадлежат интервалу(М;N), если и только если выполняются условия:
Задания, соответствующие другим случаям расположения корней квадратного трехчлена (оба корня больше некоторого числа М; если отрезок [М; N] целиком лежит на интервале (х1;х2) и другие) решаются, следуя аналогичным требованиям, проиллюстрированным на рисунке, который отвечает конкретному заданию.
.
Ответ: 
.
3. При каких значениях а один корень уравнения ах 2 +х +1 = 0 больше 2, а другой меньше 2?
Ответ: 
.
Ответ: 
.
Ответ: таких а не существует.
Ответ: 
.
Ответ: 
.
Ответ: 
.
ПАРАМЕТР (в математике)
Полезное
Смотреть что такое «ПАРАМЕТР (в математике)» в других словарях:
ПАРАМЕТР — (от греч. parametron отмеривающий) в математике величина, числовые значения которой позволяют выделить определенный элемент (напр., кривую) из множества элементов (кривых) того же рода. Напр., в уравнении x2 + y2 = r2 величина r является… … Большой Энциклопедический словарь
ПАРАМЕТР — (от греч. parametnm отмеривать) англ. parameter; нем. Parameter. 1. В математике величина, значение к рой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи. 2. Величина, характеризующая к. л. свойство устройства, процесса, вещества; то же,… … Энциклопедия социологии
параметр — 1. В математике величина, входящая в формулы и выражения, значение коей в рамках рассматриваемой задачи является постоянным. 2. Величина, характеризующая некое свойство процесса, устройства, вещества, то же, что и показатель. Словарь… … Большая психологическая энциклопедия
Параметр — У этого термина существуют и другие значения, см. Параметр (значения). В Викисловаре есть статья «параметр» Параметр (от др. греч. παραμετρέω&# … Википедия
параметр — а; м. [от греч. parametrōn отмеривающий] 1. Матем. Величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая своё постоянное значение лишь в условиях данной задачи. 2. Физ., техн. Величина или величины, характеризующие какие л. свойства процесса … Энциклопедический словарь
ПАРАМЕТР — (от греч. parametron отмеривающий) в математике, величина, числовые значения к рой позволяют выделить определ. элемент (напр., кривую) из множества элементов (кривых) того же рода. Напр., в ур нии х2 + у2 = r2 величина r является П. окружности … Естествознание. Энциклопедический словарь
параметр — сущ., м., употр. сравн. часто Морфология: (нет) чего? параметра, чему? параметру, (вижу) что? параметр, чем? параметром, о чём? о параметре; мн. что? параметры, (нет) чего? параметров, чему? параметрам, (вижу) что? параметры, чем? параметрами, о… … Толковый словарь Дмитриева
Параметр — (от греч. parametron отмеривающий) 1) (в математике) величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянной в пределах рассматриваемой задачи, но изменяется при переходе к другой задаче; 2) (в технике) величина,… … Начала современного естествознания
Параметр — (греч. parametron – отмеривающий) – 1. признак, критерий, характеризующий какое то явление и определяющий его оценку; 2. в математике – некая константа в формуле или выражении; 3. в статистике – значение, которое вводится в математическую функцию … Энциклопедический словарь по психологии и педагогике
ПАРАМЕТР — (от греч. parametnm отмеривать) англ. parameter; нем. Parameter. 1. В математике величина, значение к рой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи. 2. Величина, характеризующая к. л. свойство устройства, процесса, вещества; то же,… … Толковый словарь по социологии
Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике
Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18
И знать здесь действительно нужно много.
Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).
И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.
Вот основные типы задач с параметрами:
Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова
И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:
1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.
— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.
— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.
2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.
Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».
3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.
4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.
На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!
