Что такое параметры в математике

Что такое параметр

Анна Малкова (автор книги для подготовки к ЕГЭ, ведущая годового Онлайн-курса подготовки к ЕГЭ на 100 баллов, руководитель компании «ЕГЭ-студия» (Курсы ЕГЭ))

Приветствую будущих студентов!

Я заметила, что на своем YouTube- канале я разбирала несколько задач с параметрами, но так и не рассказала, что такое параметр.

Толковый словарь русского языка, куда полезно иногда заглядывать, дает следующее определение: «Параметр – это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса». Что же это значит? Давайте разберемся.

Вот ракете выводит космический корабль в околоземное пространство. Если спутник запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту. Первый искусственный спутник Земли, СССР, 1957 год. Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, и космический корабль преодолевает поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно 16,7 км/с, дает космическому кораблю возможность выйти за пределы Солнечной системы и преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца. Например, такой космический корабль, который назывался «Вояджер-1», был запущен в 1977 году, и в 2012 году вышел за пределы Солнечной системы, и теперь будет вечно бороздить просторы космоса. Этот корабль передал на Землю сигналы и снимки отдаленных планет. Кроме аппаратуры, он несет на своем борту золотой диск. На этом диске записаны звуковые и видеосигналы. Например, схема излучения атома водорода, местоположение Солнца, человек и его строение, земные пейзажи, шум моря, звук шагов, песни птиц, приветствие на разных языках, музыка, даже грузинский хор; плач ребенка, голос мамы, которая его успокаивает. Это подарок неизвестным существам от маленького, затерянного во Вселенной, мира нашей планеты. И может быть когда-нибудь они обнаружат этот корабль, расшифруют наше послание и узнают о нас.

Значит скорость космического корабля – это параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба, и конечно, это не единственный параметр. При запуске космического корабля таких параметров десятки и сотни.

Реальные задачи науки и техники используют функции не одной, а многих переменных: и первые-вторые, и энные производные этих функций.

А что же будет если какой-то параметр рассчитан неправильно?

Помните, как появилось выражение «Кажется, что-то пошло не так»? Эти слова вырвались у комментатора, который вел прямую трансляцию о запуске космического корабля, и через несколько секунд после старта увидел, что ракета, вместо того, чтобы устремиться к звездам, по параболе направилась к Земле.

Но, конечно, мы начнем не со сложных функций многих переменных, а с чего-то очень-очень простого.

На картинке мы видим параболу и ее формулу, С – это параметр. На что он влияет? Посмотрите, здесь С равно 0, и парабола проходит через начало координат. С равно 2, и парабола поднимается на 2 вверх по вертикале. С равно – 3, и парабола опускается по вертикале на 3 единицы.

Значит параметр – это такая переменная в уравнении, которая может принимать разные значения, и при разных значениях этой переменной мы получаем разные уравнения.

В заданиях ЕГЭ у вас есть задачи с параметром. Это задача №18 профильного раздела.

И сейчас я покажу самую простую иллюстративную задачу. Проще тех, которые будут на ЕГЭ, но зато ее можно красиво нарисовать.

При каком значении параметра с уравнение, которое вы видите на экране имеет ровно 6 корней?

Давайте нарисуем график левой части этого уравнения. Начнем с графика функции. Сначала сдвигаем его на 2 вправо. Затем вычитаем 3, график сдвигается на 3 единицы вниз. Снова берем модуль от получившегося выражения. Все, что было ниже оси абсцисс, переворачивается вверх. Далее все, что получилось, мы сдвигаем на 1 единицу вниз. И снова берем модуль. Все, что было ниже абсцисс, переворачивается вверх. И получаем график функции, похожий на Кавказские горы.

При каком же значении параметра с это уравнение имеет ровно 6 корней? Проведем горизонтальную прямую. Следовательно, с равно 1.

Это была самая простая задача с параметром. Чтобы научиться решать такие задачи, нужно отлично знать графики основных элементарных функций, преобразование графиков, базовые элементы для решения задач с параметрами и еще множество приемов и секретов.

Подписывайтесь на мой канал и переходите по ссылкам в описании!

Источник

Параметры в школьном курсе математики

Разделы: Математика

Пояснительная записка

Основной задачей модернизации российского образования является обеспечение нового качества школьного образования, соответствующего требованиям изменившейся системы общественных отношений и ценностей. В свете профилизации и модернизации школьного образования возникла необходимость создания элективного курса «Параметры в школьном курсе математики» для развития целостной математической составляющей картины мира и для расширения возможностей учащихся по свободному выбору своего образовательного пути. Предлагаемый элективный курс предназначен для реализации в старших классах профильного обучения с физико-математическим направлением. Курс систематизирует и упорядочивает, закрепляет и углубляет математические знания, умения и навыки учащихся. В процессе изучения данного элективного курса учащиеся познакомится с различными методами решения задач с параметрами.

Элективный курс предусматривает не только овладение различными умениями, навыками, приемами для решения задач, но и создает условия для формирования мировоззрения ученика, логической и эвристической составляющих мышления. Задачи с параметрами, как правило, относятся к наиболее трудным задачам, носят исследовательский характер. В школьных учебниках по математике таких задач недостаточно. Практика итоговых экзаменов в школе и приемных экзаменов в высшие учебные заведения показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане, и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу экзамена в любое высшее учебное заведение. Старшеклассники, изучившие данный материал, смогут более успешно реализовать полученные знания и умения на итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Приемы и методы, которые получат учащиеся в ходе изучения данного курса, применимы и в других предметных областях. В, частности, приемы обобщения, анализа, классификации, систематизации и другие надпредметные компетентности. Не секрет, что уровень развития надпредметных умений и навыков, в настоящее время, не высок. Поэтому возникла необходимость создания этого элективного курса, который не только напрямую углубляет и расширят математические способности детей, но и развивает их творческий и интеллектуальный потенциал.

Программа курса

Содержание курса

Предлагаемый элективный курс рассчитан на 34 часа и предлагается его организовать во втором полугодии 10 класса и в первом полугодии 11 класса следующим образом:

10 класс
№ занятия	Тема занятия	Содержание деятельности	Количество часов
1	1	Введение	Обзорная лекция	1
2-7	2	Решение уравнений различного типа	7
2,3	2.1	Линейные уравнения и уравнения, сводящиеся к линейным	Семинар, практикум	2
4,5	2.2	Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным	Семинар, практикум, исследовательская работа	2
6-8	2.3	Тригонометрические уравнения	Семинар, практикум, исследовательская работа	3
9-16	3	Решение неравенств различного вида	8
9,10	3.1	Линейные неравенства и неравенства, сводящиеся к линейным.	Семинар, практикум	2
11-13	3.2	Квадратные неравенства и неравенства, сводящиеся к квадратным	Семинар, практикум, исследовательская работа, проектная деятельность	3
14-16	3.3	Тригонометрические неравенства	Семинар, практикум, проектная деятельность	3
17	Защита проектов	Представление результатов деятельности	1
Итого	17
11 класс
18	4	Введение	Обзорная лекция	1
19-25	5	Логарифмические, показательные уравнения и неравенства	7
19-21	5.1	Логарифмические и показательные уравнения	Семинар, практикум, исследовательская работа	3
22-25	5.2	Логарифмические и показательные неравенства	Семинар, практикум, исследовательская работа	4
26-28	6.	Производная и ее применение.	Семинар, практикум, исследовательская работа, проектная деятельность	3
29,30	7.	Графическое решение уравнений и неравенств	2
31-33	8.	Задачи на составление уравнений	Семинар, практикум, исследовательская работа, проектная деятельность	3
31	8.1	Задачи с физическим содержанием	Семинар, практикум	1
32,33	8.2	Задачи на объемные доли в растворе и концентрацию вещества	Семинар, практикум, проектная деятельность	2
34	Защита проектов	Представление результатов деятельности	1
Итого	17
Всего за курс	34

Краткое содержание курса

Определение параметра. Классификация уравнений и неравенств, содержащие параметр. Основные приемы решения задач с параметрам. Решение простейших уравнений с параметрами. Актуализация знаний учащихся по данной теме. Практическое применение приемов и методов решения параметрических заданий в других предметных областях. Прогнозирование исследовательской и проектной деятельности.

2. Решение уравнений различного типа

Систематизация различных типов уравнений, различных методов решения. Решение задач. Алгоритмы решения уравнений.

2.1. Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр. Различные приемы и методы решений уравнений, сводящиеся к линейным уравнениям. Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр. Решение линейно-кусочных уравнений. Геометрическая интерпретация. Решение системных уравнений.

2.2. Актуализация знаний по теме «Квадратные уравнения». Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета. Исследование квадратного трехчлена. Алгоритм решения уравнений. Аналитический метод решения.

Функционально-иллюстративный метод. Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Тригонометрические уравнения. Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр. Исследование области значений функции методами оценивания значений.

3. Решение неравенств различного вида

3.1.Решение линейных неравенств, содержащих параметр.Определение линейного неравенства. Алгоритм решения линейных неравенств. Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами. Различные приемы и методы решений неравенств, сводящихся к линейным неравенствам. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении.

3.2. Квадратные неравенства и неравенства, сводящиеся к квадратичным неравенствам. Определение квадратичного неравенства. Алгоритм решения квадратных неравенств. Решение стандартных квадратных неравенств и неравенств с параметрами. Различные приемы и методы решений неравенств, сводящихся к квадратным неравенствам. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении. Область определения и область значений квадратичной функции. Монотонность квадратичной функции. Координаты вершины параболы. Исследование корней квадратного трехчлена.

3.3 Тригонометрические неравенства. Свойства тригонометрических функций. Приемы и методы решений тригонометрических неравенств, содержащих параметр.

Дальнейшее изучение способов решений заданий с параметрами. Прогнозирование исследовательской и проектной деятельности.

5. Логарифмические, показательные уравнения и неравенства.

Решение уравнений и неравенств с помощью методов: интервалов, неопределённых коэффициентов, оценок (по выбору).

5.1. Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений и неравенств, содержащих параметры.Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений с параметрами. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении.

5.2. Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных неравенств, содержащих параметры. Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических неравенств с параметрами. Исследование полученных ответов. Обработка результатов, полученных при решении.

6. Производная и ее применение

Касательная к функции. Критические точки. Монотонность. Наибольшие и наименьшие значения функции. Построение графиков функций.

7. Графическое решение уравнений и неравенств

Графические приемы. Координатная плоскость (х; у). Параллельный перенос. Поворот. Гомотетия. Координатная плоскость (х; а).

8. Задачи на составление уравнений

Решение задач с некоторыми условиями. Прикладная направленность применения методов решения параметрических задач.

8.1. Задачи с физическим содержанием.

8.2. Задачи на объемные доли в растворе и концентрацию вещества.

Итоговым занятием могут быть презентации защиты проектов.

Виды деятельности

Для организации занятий рекомендуются следующие организационные формы обучения: лекции, практикумы по решению задач, семинары. Основным видом деятельности учащихся на занятиях должна стать проектная и исследовательская деятельность учащихся, которая может быть реализована как на занятиях в классе, так и в ходе самостоятельной работы, которая может быть представлена в виде исследовательских работ, презентаций, докладов, рефератов и т.д. Все занятия должны носить проблемный и поисковый характер и включать в себя самостоятельную работу. Успешность усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной, творческой работы учащихся. Такая организация занятий способствует реализации развивающих целей курса.

Методические рекомендации

Для проведения занятий следует использовать различные организационные технологии. Первые занятия в десятом и одиннадцатом классах следует провести в виде обзорной лекции, на которой определяются цели и задачи курса, формы организации занятий, проектирование результатов деятельности и т.д. Содержание лекции можно представить в виде компьютерной презентации.

Занятия можно организовать в форме семинаров, практических занятий. Приоритетным направлением является групповая, парная и индивидуальная работа, в ходе которой реализуются исследовательская и проектная деятельность учащихся.

В группах можно рассматривать теоретический материал, парная работа дает возможность учащимся консультироваться друг у друга, выполнять совместные задания, проверять некоторый теоретический материал. В ходе индивидуальной работы учащиеся выполняют самостоятельные работы, готовят рефераты, доклады занимаются проектной и исследовательской деятельностью. Темы для рефератов и проектов учащиеся выбирают сами, защита которых и будет зачетом по данному курсу.

Данные формы организации занятий дают возможность учащимся проектировать свою образовательную траекторию. Каждый ребенок имеет возможность включить в процесс обучения свои собственные личные функции его субъектный опыт становится востребованным, а коллектив представляет возможность совместного развития, для восприятия себя как источника для развития других и других как источника своего развития. Другими словами, ученик становится подлинным центром образовательного процесса.

Для организации занятий следует подготовить дидактический материал, который соответствует уровню подготовленности учащихся. Теоретический материал можно оформить в виде опорных конспектов или предложить учебные пособия, либо указать ссылки на адреса в интернете. Проверить уровень усвоения учебного материала можно через самостоятельные, зачетные и тестовые задания, а также и подготовку проектов и исследовательских работ. На занятиях считаю необходимым применение информационно-коммуникационных технологий. Компьютер не только помогает в освоении учебного материала, но и формирует устойчивый позитивный интерес к обучению, в общем.

В конце каждого занятия целесообразно проводить рефлексию, которая поможет учащимся определить дальнейшие образовательные дефициты.

Ресурсное обеспечение

Соответственно необходимо наличие компьютеров, подключенных к интернет-каналу, проектор и экран для представления презентаций. Программное обеспечение должно быть следующее: Microsoft Word,Microsoft Excel, Microsoft PowerPoint.

Заключение

Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время, как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в вузы. Владение приемами решения задач с параметрам можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Решение задач, уравнений с параметрами, открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале. Именно такие задачи играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Источник

Задачи с параметрами на ЕГЭ по математике

Задача с параметрами – одна из самых сложных в ЕГЭ по математике Профильного уровня. Это задание №18

И знать здесь действительно нужно много.

Научиться строить графики всех элементарных функций (и отличать по внешнему виду логарифм от корня квадратного, а экспоненту – от параболы).

И после этого – учимся решать сами задачи №18 Профильного ЕГЭ.

Вот основные типы задач с параметрами:

Еще одна задача с параметром – повышенного уровня сложности. Автор задачи – Анна Малкова

И несколько полезных советов тем, кто решает задачи с параметрами:

1. Есть два универсальных правила для решения задач с параметрами. Помогают всегда. Хорошо, в 99% случаев помогают. То есть почти всегда.

— Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной – сделайте замену переменной.

— Если задачу с параметром можно решить нарисовать – рисуйте. То есть применяйте графический метод.

2. Новость для тех, кто решил заниматься только алгеброй и обойтись без геометрии (мы уже рассказывали о том, почему это невозможно). Многие задачи с параметрами быстрее и проще решаются именно геометрическим способом.

Эксперты ЕГЭ очень не любят слова «Из рисунка видно…» Ваш рисунок – только иллюстрация к решению. Вам нужно объяснить, на что смотреть, и обосновать свои выводы. Примеры оформления – здесь. Эксперты ЕГЭ также не любят слова «очевидно, что…» (когда ничего не очевидно) и «ёжику ясно…».

3. Сколько надо решить задач, чтобы освоить тему «Параметры на ЕГЭ по математике»? – Хотя бы 50, и самых разных. И в результате, посмотрев на задачу с параметром, вы уже поймете, что с ней делать.

4. Задачи с параметрами похожи на конструктор. Разобрав много таких задач, вы заметите, как решение «собирается» из знакомых элементов. Сможете разглядеть уравнение окружности или отрезка. Переформулировать условие, чтобы сделать его проще.

На нашем Онлайн-курсе теме «Параметры» посвящено не менее 12 двухчасовых занятий. Кстати, оценивается задача 18 Профильного ЕГЭ в 4 первичных балла, которые отлично пересчитываются в тестовые!

Источник

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2022 года это №17. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

1. Теперь пример из школьной математики.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения:

Если , квадратное уравнение имеет два корня: и

Если , то есть с > 1, корней нет.

В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

И еще две простые задачи с параметром.

2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

Найдем дискриминант уравнения

Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

Разложим левую часть неравенства на множители:

Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и

3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?

Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

Источник