Что такое s параметры четырехполюсника
Современная радиотехника настолько сложная наука, что она уже давно разделилась на несколько отдельных областей знаний, в которых присутствуют похожие и даже тождественные понятия, которые имеют совершенно разные определения. Это приводит к большой путанице. А если учесть тот факт, что некоторые понятия, например понятие «возвратные потери», имеют определение совершенно противоположное своему названию, то это может не слабо напрячь мозг не только радиолюбителя, но и специалиста. Чем же отличаются такие понятия как коэффициент отражения, «возвратные потери», КСВ, S11? Зачем или скорее почему столько схожих понятий? Попробуем разобраться…
Разбираться начнем с S-параметров. Эти параметры были введены как универсальные для анализа любых СВЧ цепей. Такую цепь можно анализировать измеряя падающую и отраженную волны на ее входах/выходах. Связь между этими волнами описывается волновой матрицей рассеяния или матрицей S-параметров, которые зависят от частоты. В общем случае мы можем иметь дело с многополюсником (например СВЧ-сумматор или разветвитель), в котором может присутствовать несколько источников сигнала и несколько нагрузок. Чтобы упростить расчеты, все эти источники и нагрузки заменяются одним понятием — «порт».
Следует отметить, что величина возвратных потерь, выраженная через |S11| всегда меньше единицы (в децибельном выражении всегда отрицательна), ведь отраженная мощность не может превышать падающую. Что логично. Тем не менее, в теории уже давно присутствует понятие с тем же названием RL — «возвратные потери», но определяется оно «вверх тормашками», как отношение падающей мощности к отраженной, и в децибельном выражении величина таких «потерь» всегда положительна. При этом, при КСВ стремящемся к единице такие «возвратные потери» стремятся к бесконечности. У нас идеальный КСВ, а какие то там «потери» просто зашкаливают! Это у кого угодно может вызвать нешуточный разрыв шаблона. На самом деле эта величина характеризует степень ослабления отраженной волны в сравнении с падающей, но какие же это потери/убытки черт возьми! Скорее прибыль. 
Такое вопиющее несоответствие понятия его определению даже отмечено в Википедии, цитата:
From a certain perspective ‘Return Loss’ is a misnomer. The usual function of a transmission line is to convey power from a source to a load with minimal loss. If a transmission line is correctly matched to a load, the reflected power will be zero, no power will be lost due to reflection, and ‘Return Loss’ will be infinite. Conversely if the line is terminated in an open circuit, the reflected power will be equal to the incident power; all of the incident power will be lost in the sense that none of it will be transferred to a load, and RL will be unity. Thus the numerical values of RL tend in the opposite sense to that expected of a ‘loss’. Wikipedia
Данное определение «возвратных потерь» с большим положительным значением более старое, было введено в обиход еще в 60-х годах прошлого века с легкой руки инженеров фирмы Hewlett Packard. Отказаться от старого очень сложно и споры о том какое определение возвратных потерь правильное, первоначальное от Hewlett Packard или более логичное через S11, в инженерной среде не утихают по сей день. Однако в децибельном выражении они отличаются только знаком и многие даже не обращают внимания на эту коллизию.
Параметр S21/S12 («transmission coefficient») — это отношение волны на выходе устройства к волне на входе. Модуль параметра S21 в теории СВЧ устройств иногда называют «insertion loss» — вносимые потери. В случае нашего примера с линией передач «insertion loss» — это реальные тепловые потери линии. Тут все совпало. Волна в этом случае на самом деле частично рассеялась при прохождении по линии и ее энергия преобразовалась в тепло. Но так бывает не всегда. Например теми же S-параметрами описываются и свойства СВЧ транзисторов. В этом случае S21 — это коэффициент передачи транзистора, близкий по смыслу к параметру h21 — коэффициенту усиления, а не потерь.
В антенне с одним портом мы имеем дело только с одним параметром — S11 или, иначе говоря, со старым добрым теплым-ламповым коэффициентом отражения. Рассчитав в симуляторе или измерив его векторным анализатором мы однозначно можем вычислить и входной импеданс, и полосу пропускания и КСВ антенны. В двухпортовой MIMO антенне S-параметров уже четыре. Причем S21/S12 в этом случае характеризуют развязку между MIMO портами. Вообще в антенной технике энергия должна идти куда надо, т. е. излучаться в пространство, а не «рассеиваться» где ни попадя и «болтаться в проруби» туда сюда между портами и по линиям передач. Поэтому модуль любого S-параметра антенны должен быть минимальным или в децибельном выражении как можно более отрицательным.
Как видим, радиотехника в широком смысле, в силу своей сложности, разделилась на лоскутный набор узких дисциплин. Инженеры, работающие в отдельной такой дисциплине, придумывают для себя удобное для работы понятие, особо не задумываясь, что оно где то в смежной области уже давно изобретено. В итоге одно и тоже явление в разных дисциплинах описывается разными терминами, либо совершенно разные явления названы одним термином. Как в старой доброй сказке «Королевство кривых зеркал». А куда деваться? Так уже сложилось. Нужно просто «понимать глубину наших глубин».
5.8. Способы определения параметров четырехполюсников
5.8. Способы определения параметров четырехполюсников
Определение параметров простейших четырехполюсников. Рассмотрим схемы простейших четырехполюсников, которые изображены на рис. 5.7,а и б.
Рис. 5.7. Схемы простейших четырехполюсников.
На основании закона Кирхгофа для схемы (рис. 5.7,а) можно записать: U1= U2 + I2Z1; I1 = I2. На основании сравнения этих уравнений с уравнениями передачи в А-параметрах (5.7) для рассматриваемой схемы можно записать матрицу А-параметров:
. (5.71)
Для схемы рис. 5.7,б на основании закона Кирхгофа запишем следующие уравнения: U1 = U2; I1 = U2/Z2 + I2 и поэтому матрица А-параметров будет иметь вид:
. (5.72)
Зная матрицы А-параметров, используя таблицу пересчета (5.1), можно получить матрицы Y, Z и Н-параметров.
Используя схемы простейших четырехполюсников можно составить схемы типовых четырехполюсников.
Определение параметров типовых четырехполюсников. К типовым пассивным четырехполюсникам относятся Г-, Т-, П-образные схемы, которые изображены на рис. 5.8,а, б, в.
Рис. 5.8 Схемы Г-образного (а), Т-образного (б) и П-образного (в) четырехполюсников.
Г-образный четырехполюсник (рис. 5.8,а) получается путем каскадного соединения простейших четырехполюсников (рис. 5.7,а и б). Следовательно, его матрицуА-параметров можно получить перемножением матриц (5.71) и (5.72):
. (5.73)
Т-образный четырехполюсник (рис. 5.8,б) образуется путем каскадного соединения Г- образной схемы (рис. 5.8,а) с элементами Z1 и Z2 и схемы (рис. 5.7,а) с элементом Z3 в продольном плече. Тогда его матрица А-параметров определяется как произведение матриц Аг и матрицы (5.71), в которой Z1 заменено Z3.
.
Выполняя перемножение матриц Аг и А′1 получим:
. (5.74)
П-образный четырехполюсник (рис. 5.8,в) образуется путем каскадного соединения простейшего четырехполюсника (рис. 5.7,б) с элементомZ1 и Г-образного четырехполюсника (рис. 5.8,а) с элементами Z2 и Z3 в продольном и в поперечном плечах. Следовательно, его матрицу А-параметров можно получить перемножением матриц соединенных четырехполюсников, т.е.:
, (5.75)
Матрица А′г получена из (5.73) путем замены Z1 на Z2 и Z2 на Z3, а матрица А′2 – из (5.72) путем замены Z2 на Z1.
Зная А-параметры типовых четырехполюсников используя таблицу (5.1) можно определить другие интересующие нас параметры Г-, Т- и П-образных четырехполюсников.
При анализе сложных четырехполюсников необходимо выделить в их составе простейшие и типовые четырехполюсники и установить способы их соединения. После этого с помощью матричных методов расчета можно определить матрицы сложного четырехполюсника.
Экспериментальный способ определения параметров четырехполюсника. Если схема четырехполюсника неизвестна, то его параметры можно определить экспериментальным путем, используя режимы холостого хода и короткого замыкания.
Рис. 5.9. Схема для экспериментального определения параметров четырехполюсника.
Определим А-параметры четырехполюсника.
Для этого на входе четырехполюсника подключим вольтметр (V), амперметр (А) и фазометр (φ), как показано на рис. 5.9.
Переведем четырехполюсник в режим холостого хода по выходу (I2=0) и измерим с помощью приборов Iх.х.1, Uх.х.1 и φх.х.1.
В случае, когда I2 = 0 система А-параметров имеет вид:
(5.76)
. (5.77)
Переведем четырехполюсник в режим короткого замыкания по выходу (U2 = 0). Измерим Iк.з.1, Uк.з.1 и φк.з.1, тогда система А-параметров будет иметь вид:
(5.78)
. (5.79)
Подключим приборы к зажимам (2-2) и переведем четырехполюсник в режим холостого хода по входу (I1 = 0) и измерим Iх.х.2, Uх.х.2 и φх.х.2. Тогда имеем:
(5.80)
. (5.81)
Четвертое уравнение получим, используя соотношение:
. (82)
Решив систему уравнений (5.77), (5.79), (5.81) и (5.82), найдем А-параметры:
; 
;
; 
.
3 Системы параметров четырехполюсника
2. Системы параметров четырехполюсника
2.1 Системы параметров четырехполюсника
В ряде случаев необходимо не описать свойства четырехполюсника в виде частотных характеристик, а сформировать его модель, связывающую между собой входные и выходные токи и напряжения. Аналогичные модели уже использовались при описании двухполюсных элементов, которые характеризуются двумя переменными – протекающим током и приложенным к элементу напряжением. Например, модель «сопротивление» имеет вид 
.
У четырехполюсника вида рис. 1.2 четыре переменных – входной 
и выходной 
токи, входное 
и выходное 
напряжения. Любые две из них можно выбрать в качестве независимых, тогда две оставшихся будут зависимыми. В результате модель будет представлять собой систему из двух линейных алгебраических уравнений.
Всего возможно построить
Рекомендуемые файлы
моделей, где 
— число сочетаний из четырех переменных по две.
Если в качестве независимых переменных выбрать входное и выходное напряжения, то модель можно записать в виде
. (2.1)
Модель полностью характеризуется четырьмя коэффициентами (
, 
, 
, 
) и поэтому ее называют системой Y-параметров. Все Y-параметры являются комплексными проводимостями, зависят от схемы и параметров элементов четырехполюсника, а также частоты сигнала. Систему уравнений (2.1) можно записать в матричной форме:
, (2.2)
В этом случае модель полностью определяется матрицей Y-параметров:
. (2.3)
Выбрав независимыми переменными входной ток и выходное напряжение , получим модель четырехполюсника в виде системы H-параметров:
, (2.4)
или в матричной форме
, (2.5)
где матрица H-параметров имеет вид
. (2.6)
Параметр 
имеет размерность сопротивления, 
и 
— безразмерны, а 
является проводимостью. В общем случае это комплексные величины, зависящие от схемы и параметров элементов четырехполюсника, а также от частоты сигнала.
Используются и другие системы параметров, которые представлены в табл. 2.1.
Штрих в обозначении токов указывает на их противоположное направление по сравнению с указанным на рис. 1.2. Все шесть рассмотренных моделей описывают свойства одной и той же цепи, следовательно, они эквивалентны и одна система параметров может быть определена через другую. В литературе [2, приложение 15] имеются соответствующие формулы пересчета параметров из одной системы в другую.
2.1. Физический смысл параметров четырехполюсника
Проведем анализ системы H-параметров четырехполюсника. Уравнения имеют вид (2.4) и применимы для любых значений независимых переменных ( и ).
Допустим, что выходное напряжение равно нулю. Физически это условие можно обеспечить при коротком замыкании выхода четырехполюсника, как показано на рис. 2.1. При этом из
Рис. 2.1 первого уравнения сис-
. (2.7)
Как видно, параметр , равный отношению входного напряжения к входному току, является комплексным входным сопротивлением четырехполюсника при коротком замыкании выхода и измеряется в Омах.
Из второго уравнения системы (2.4) можно записать
, (2.8)
то есть представляет собой безразмерный комплексный коэффициент передачи тока при коротком замыкании выхода.
Допустим, что входной ток четырехполюсника равен нулю, что соответствует холостому ходу (разрыву) входной цепи, как показано на рис. 2.2.
Из первого уравнения системы (2.4) получим
(2.9)
Как видно, параметр Рис. 2.2
равен отношению
комплексных амплитуд входного и выходного напряжений. Его целесообразно назвать комплексным коэффициентом обратной передачи напряжения при холостом ходе входной цепи.
Из второго уравнения (2.4) следует
, (2.10)
то есть 
является комплексной выходной проводимостью четырехполюсника при холостом ходе входной цепи.
Рассмотрим систему Y-параметров на основе уравнений (2.1). Допустим, что 
(обеспечен режим короткого замыкания выхода), тогда параметр
(2.11)
представляет собой комплексную входную проводимость, а
(2.12)
— комплексную проходную проводимость четырехполюсника при коротком замыкании выхода.
Аналогично при 
(обеспечен режим короткого замыкания входа)
(2.13)
является комплексной приводимостью обратной передачи,
(2.14)
— комплексной выходной проводимостью при коротком замыкании входа четырехполюсника.
Как уже отмечалось, системы параметры зависят от схемы и параметров элементов четырехполюсника и от частоты входного сигнала.
 |
2.3. Методика расчета параметров четырехполюсников
В качестве примера рассмотрим расчет H-параметров четырехполюсника, схема которого показана на рис. 2.3а.
Обеспечим режим короткого замыкания выхода, как показано на рис. 2.3б, и, полагая известным входное напряжение , любым методом расчета найдем входной ток , В цепи рис. 2.3б емкость 
замкнута, схема принимает вид, показанный на рис. 2.4, тогда по закону Ома
,
.
Затем, полагая известным входной ток , любым методом определим выходной ток . В цепи на рис. 2.4 очевидно, что 
, тогда из (2.8) следует
.
Далее обеспечиваем режим холостого хода входной цепи, как показано на рис. 2.3в. При 
напряжение на сопротивлении 
равно нулю. Полагая известным выходное напряжение , любым методом определим входное напряжение
. Для цепи рис. 2.3в получим 
, тогда из (2.9)
.
Затем при заданном выходном напряжение любым методом определим выходной ток . В рассматриваемом случае в выходной цепи включена только емкость (сопротивление отключено), тогда 
и из (2.10) получим
.
В результате матрица H-параметров равна
,
а система уравнений (модель) принимает вид
Как видно, первое уравнение модели соответствует уравнению второго закона Кирхгофа, а второе уравнение – уравнению первого закона Кирхгофа для цепи рис. 2.3а. Этот результат является частным случаем, и обусловлен простотой цепи, показанной на рис. 2.3а.
Определим систему Y-параметров того же четырехполюсника на рис. 2.3а. В режиме короткого замыкания выхода (рис. 2.3б и рис. 2.4) получим
,
.
Обеспечим режим короткого замыкания входной цепи, как показано на рис. 2.5, при этом
,
.
В результате получим матрицу Рис. 2.5
,
и систему уравнений в виде
 |
2.4. Измерение параметров четырехполюсников
На практике часто приходится иметь дело с электронными устройствами, которые можно рассматривать как линейные четырехполюсники. Прежде всего, это пассивные 
цепи, например, частотные фильтры. Однако и устройства, содержащие нелинейные элементы (например, транзисторные усилители) можно рассматривать как линейные четырехполюсники, если воздействующие на них переменные сигналы достаточно малы (режим малого сигнала в усилителе).
Если устройство работает в линейном режиме, то, измерив его систему параметров, можно построить простую и удобную в использовании экспериментальную модель.
Параметры линейного четырехполюсника могут быть измерены с использованием соотношений, подобных (2.7)-(2.10) для H-параметров. В этом случае необходимо реализовать эксперименты (опыты) короткого замыкания выхода и холостого хода входа, как показано на рис. 2.6 применительно к модулям H-параметров.
При коротком замыкании выхода (рис. 2.6а) к нему вместо нагрузки подключается перемычка, а к входу – генератор гармонического сигнала с заданной частотой и ЭДС 
. По показаниям вольтметра и амперметров в цепи рис. 2..6а измеряются действующие значения входного напряжения 
, входного 
и выходного 
токов, тогда получим
, 
. (2.15)
В режиме холостого хода входной цепи (рис. 2.6б) генератор подключается к выходу четырехполюсника и измеряются действующие значения выходного тока , входного и выходного 
напряжений, тогда
, 
. (2.16)
Если необходимо определить комплексные значения H-параметров, то потребуется измерение их аргументов, которое можно осуществить с помощью двулучевого осциллографа (рис. 2.7). Для этого в ветви с измеряемым током вместо амперметров включаются резисторы с малым сопротивлением 
и падения напряжения на них (
или 
) при необходимости подаются на осциллограф. По смещению во времени двух сравниваемых гармонических сигналов измеряется сдвиг фаз между ними (например, при измерении аргумента 
в схеме на рис. 2.7а на осциллограф подаются напряжения 
и ).
Промышленность выпускает измерительные приборы, позволяющие экспериментально определять, например, H-параметры биполярных транзисторов. Эта возможность преду-
сматривается даже в некоторых бытовых мультиметрах (малогабаритных простых приборах для измерения токов, напряжений и сопротивлений).
 |
При измерении параметров четырехполюсников эксперименты короткого замыкания и холостого хода, особенно выходной цепи, необходимо проводить инженерно грамотно. В противном случае можно вывести измеряемое устройство (усилитель) из строя.
2.5. Соединения четырехполюсников
Для двухполюсников имеется два простых варианта их соединения – последовательное и параллельное. У четырехполюсников таких простых вариантов соединения уже пять, как показано на рис. 2.8:
— последовательное по входу и выходу (рис. 2.8а);
— параллельное по входу и выходу (рис. 2.8б);
— последовательное по входу и параллельное по выходу
— параллельное по входу и последовательное по выходу
Каждое соединение можно представить одним эквивалентным четырехполюсником, что дает возможность преобразовывать сложные соединения четырехполюсников, представляя их простыми моделями.
Матрицу параметров эквивалентного четырехполюсника можно выразить через матрицы параметров двух входящих в соединение четырехполюсников в соответствии с табл. 2.2.
Простые выражения (табл. 2.2) имеют место при определенном выборе системы параметров в зависимости от характера соединения четырехполюсников, поэтому на практике широко используются все системы параметров. Если при описании входящих в соединение четырехполюсников использовать другие системы параметров, то выражение для эквивалентных параметров существенно усложняются [2].
Соотношения из табл. 2.2 позволяют существенно упростить расчеты сложных цепей, которые можно представить как соединение простых четырехполюсников.
Последовательное по входу и выходу
Параллельное по входу и выходу
Последовательное по входу и параллельное по выходу
Параллельное по входу и последовательное по выходу
В качестве примера рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 2.9. Ее можно рассматривать как отдельный четырехполюсник, или как каскадное соединение двух четырехполюсников со схемой, показанной на рис. 2.5.
Определим матрицу A-параметров четырехполюсника на рис. 2.9., уравнения которого имеют вид
. (2.17)
Обеспечим в цепи режим короткого замыкания выхода , схема цепи
Рис. 2.10 показано на рис. 2.10.
Найдем параметры 
и 
, равные
,. (2.18)
. (2.19)
Для этого при известном напряжении необходимо найти ток 
. По закону Ома ток равен
,
где 
— сопротивление емкости, тогда для напряжения 
получим
,
а для тока соответственно
.
Для можно записать выражение
.
Подставляя в выражение для ток , получим
,
в результате параметр будет равен
.
Обеспечим режим холостого хода выхода 
в цепи на рис. 2.9. В этом случае можно определить
, (2.20)
. (2.21)
Для цепи рис. 2.9 можно записать
,
,
тогда выходное напряжение будет равно
,
а для параметра 
получим
,
Зная ток , запишем выражение для выходного напряжения ,
,
тогда параметр 
будет равен
.
Расчет A-параметров четырехполюсника на рис. 2.9 можно провести значительно проще, если представить его каскадным соединением двух более простых четырехполюсников, показанных на рис. 2.11а, схема цепи в режиме короткого замыкания выхода приведена на рис. 2.11б..
Проведите расчет системы A-параметров четырехполюсника рис. 1.11а самостоятельно. В результате нетрудно получить
.
Матрица A-параметров четырехполюсника на рис. 2.6 
равна произведению двух матриц 
,
,
в результате получим
.
Как видно, расчет каскадного соединения существенно проще, чем исходной цепи на рис. 2.9.
2.6. Параметры четырехполюсника и его частотные
Подключим к четырехполюснику источник сигнала с ЭДС 
и внутренним сопротивлением 
и нагрузку 
. Для описания четырехполюсника используем систему A-параметров. В результате на основе законов Ома и Кирхгофа получим систему уравнений вида
(2.22)
При известной ЭДС источника и параметрах элементов цепи из системы уравнений (2.22) можно определить все токи и напряжения.
Из уравнений (2.23) можно определить комплексный коэффициент передачи напряжения в виде
. (2.23)
Из второго уравнения (2.22) можно записать
, (2.24)
тогда комплексный коэффициент передачи тока равен
. (2.25)
Как видно, частотные характеристики нагруженного четырехполюсника определяются его A-параметрами и сопротивлением нагрузки. При отсутствии нагрузки (
) из (2.23) получим
. (2.26)
В качестве примера рассмотрим цепь на рис. 2.13, для которой нетрудно показать, что
.
С другой стороны, из (2.23) при известных A-параметрах четырехполюсника рис. 2.11а получим
.
Как видно, полученные выражения для 
полностью совпадают.
2.7. Применение моделей четырехполюсников
Модели четырехполюсников и их системы параметров широко используются в различных областях электротехники и электроники.
Это прежде всего теория линейных четырехполюсных трактов передачи сигналов, трансформации напряжений, токов, мощности и сопротивлений, задачи анализа и синтеза частотных фильтров с заданными частотными характеристиками.
Системы параметров четырехполюсников применяются для описания нелинейных активных элементов (транзисторов) в режиме малого сигнала. Для описания биполярных транзисторов чаще всего используется система H-параметров. В справочниках по транзисторам их усилительные свойства определяются статическим (определяемом на постоянном токе) коэффициентом передачи тока в схеме с общим эмиттером 
, который является соответствующим H-параметром.
Для измерения всех H-параметров биполярных транзисторов имеются специальные измерительные приборы. Даже некоторые бытовые мультиметры (универсальные измерители напряжения, тока и сопротивления) имеют возможность измерения параметра . Все это свидетельствует о широком практическом применении этой системы параметров. В описа-
нии полевых транзисторов и электронных ламп применяют систему Y-параметров. Статический параметр 
имеет специальное название крутизны.
При разработке малосигнальных моделей полупроводниковых приборов часто используется система Z-параметров.
2.8. Задания для самостоятельного решения
Задание 1.1. Определите системы Y-параметров и H-параметров четырехполюсников, схемы которых показаны на рис. 2.14. Повторите расчеты, заменив емкость C на индуктивность L. Представьте результаты в виде частотных характеристик
Задание 1.2. Определите систему A-параметров четырехполюсников, схемы которых показаны на рис. 2.15. Представьте результаты в виде частотных характеристик
