Эффективная оценка параметра в любой параметрической модели это

Эффективная оценка параметра в любой параметрической модели это

уЖПТНХМЙТХЕН ПЮЕЧЙДОПЕ УМЕДУФЧЙЕ ЙЪ ОЕТБЧЕОУФЧБ тБП — лТБНЕТБ.

еУМЙ УЕНЕКУФЧП ТБУРТЕДЕМЕОЙК ХДПЧМЕФЧПТСЕФ ХУМПЧЙСН ТЕЗХМСТОПУФЙ (R) Й (RR), Й ПГЕОЛБ ФБЛПЧБ, ЮФП Ч ОЕТБЧЕОУФЧЕ тБП — лТБНЕТБ ДПУФЙЗБЕФУС ТБЧЕОУФЧП:

оБКДЕН ЙОЖПТНБГЙА жЙЫЕТБ ПФОПУЙФЕМШОП РБТБНЕФТБ (УЮЙФБС, ЮФП ЙНЕЕФУС ПДЙО ОЕЙЪЧЕУФОЩК РБТБНЕФТ — ).

дБМЕЕ, УТБЧОЙЧБС МЕЧХА Й РТБЧХА ЮБУФЙ Ч ОЕТБЧЕОУФЧЕ тБП — лТБНЕТБ, РПМХЮБЕН ТБЧЕОУФЧП:

фП ЕУФШ ПГЕОЛБ ЬЖЖЕЛФЙЧОБ (ПВМБДБЕФ ОБЙНЕОШЫЕК ДЙУРЕТУЙЕК УТЕДЙ ОЕУНЕЭЕООЩИ ПГЕОПЛ).

фЕ, ЛФП ОЕ РПНОЙФ, УЮЙФБЕН ЪБОПЧП:

ЗДЕ ЙНЕЕФ УФБОДБТФОПЕ ОПТНБМШОПЕ ТБУРТЕДЕМЕОЙЕ.

уТБЧОЙЧБС МЕЧХА Й РТБЧХА ЮБУФЙ Ч ОЕТБЧЕОУФЧЕ тБП — лТБНЕТБ, РПМХЮБЕН ТБЧЕОУФЧП:

фБЛЙН ПВТБЪПН, ПГЕОЛБ ЬЖЖЕЛФЙЧОБ.

оБКДЕН ЙОЖПТНБГЙА жЙЫЕТБ ПФОПУЙФЕМШОП РБТБНЕФТБ

рМПФОПУФШ ДБООПЗП РПЛБЪБФЕМШОПЗП ТБУРТЕДЕМЕОЙС ЙНЕЕФ ЧЙД:

рПДУФБЧЙЧ ДЙУРЕТУЙА Й ЙОЖПТНБГЙА жЙЫЕТБ Ч ОЕТБЧЕОУФЧП тБП — лТБНЕТБ, РПМХЮБЕН ТБЧЕОУФЧП:

пФУХФУФЧЙЕ ТБЧЕОУФЧБ Ч ОЕТБЧЕОУФЧЕ тБП — лТБНЕТБ ЧПЧУЕ ОЕ ПЪОБЮБЕФ ОЕЬЖЖЕЛФЙЧОПУФШ ПГЕОЛЙ. рТЙЧЕДЕН РТЙНЕТ ПГЕОЛЙ, ЛПФПТБС СЧМСЕФУС ЬЖЖЕЛФЙЧОПК, ОП ДМС ЛПФПТПК ОЕ ДПУФЙЗБЕФУС ТБЧЕОУФЧП Ч ОЕТБЧЕОУФЧЕ тБП — лТБНЕТБ. ч ЬЖЖЕЛФЙЧОПУФЙ ПГЕОЛЙ ЙЪ ЬФПЗП РТЙНЕТБ НЩ ИПФЕМЙ ВЩ, ОП ОЕ УНПЦЕН ХВЕДЙФШУС.

оБРПНОЙН, ЮФП чЩЮЙУМЙН НБФЕНБФЙЮЕУЛПЕ ПЦЙДБОЙЕ

рПДУФБЧЙЧ ДЙУРЕТУЙА Й ЙОЖПТНБГЙА жЙЫЕТБ Ч ОЕТБЧЕОУФЧП тБП — лТБНЕТБ, РПМХЮБЕН, ЮФП РТЙ МАВПН ЕУФШ УФТПЗПЕ ОЕТБЧЕОУФЧП :

фЕН ОЕ НЕОЕЕ, ПГЕОЛБ СЧМСЕФУС ЬЖЖЕЛФЙЧОПК, ОП ДПЛБЪЩЧБФШ НЩ ЬФП ОЕ ВХДЕН.

Источник

ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА

Лит.:[1] Крамер Г., Математические методы статистики, пер. с англ., 2 изд., М., 1975; [2] Ибрагимов И. А., Хасьминский Р. 3., Асимптотическая теория оценивания, М., 1979; [3] Рао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, пер. с англ., М., 1968.
М. С. Никулин.

Полезное

Смотреть что такое «ЭФФЕКТИВНАЯ ОЦЕНКА» в других словарях:

эффективная оценка — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN efficient estimator … Справочник технического переводчика

Эффективная оценка — Содержание 1 Определение 2 Единственность 3 Асимптотическая эффективность … Википедия

эффективная оценка — efektyvusis įvertis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. efficient estimate; efficient estimator vok. effiziente Schätzung, f rus. эффективная оценка, f pranc. estimation effective, f … Automatikos terminų žodynas

Эффективная оценка — 2.22. Эффективная оценка Источник: ГОСТ 15895 77: Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНАЯ — оценка с минимальной для данного объема выборки дисперсией. О., обладающая аналогичным свойством при неограниченно возрастающем объеме выборки, называется асимптотически эффективной. Свойство эффективности должно учитываться в геологии в… … Геологическая энциклопедия

ЭФФЕКТИВНАЯ ТЕМПЕРАТУРА — з в е з д ы (T э) параметр, характеризующий светимость звезды, т. е. полное кол во энергии, излучаемое звездой в единицу времени. Э. т. связана со светимостью L и радиусом звезды R соотношением L =4pR2sT4 э, где 4pR2 площадь поверхности звезды. Т … Физическая энциклопедия

ОЦЕНКА СТАТИСТИЧЕСКАЯ — функция от случайных величин, применяемая для оценки неизвестных параметров теоретич. распределения вероятностей. Методы теории О. с. служат основой современной теории ошибок; обычно в качестве неизвестных параметров выступают измеряемые физич.… … Математическая энциклопедия

Эффективная площадь рассеяния — Пример диаграммы моностатической ЭПР (B 26 Инвэйдер) Эффективная площадь рассеяния (ЭПР; англ. Radar Cross Section, RCS; в некоторых источниках эффективная поверхность рассеяния, эффективный поперечник рассеяния, эффективная по … Википедия

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНАЯ — СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ … Социология: Энциклопедия

Источник

Эффективная оценка

Связанные понятия

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

В статистике метод оценки с помощью апостериорного максимума (MAP) тесно связан с методом максимального правдоподобия (ML), но дополнительно при оптимизации использует априорное распределение величины, которую оценивает.

Функция предельного правдоподобия (англ. Marginal Likelihood Function) или интегрированное правдоподобие (англ. integrated likelihood) — это функция правдоподобия, в которой некоторые переменные параметры исключены. В контексте байесовской статистики, функция может называться обоснованностью (англ. evidence) или обоснованностью модели (англ. model evidence).

Центра́льные преде́льные теоре́мы (Ц. П. Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

В статистике, дельта-методом называется результат, описывающий вероятностное распределение функции от асимптотически нормальной статистической оценки при известной асимптотической дисперсии этой оценки.

Т-критерий Вилкоксона — (также используются названия Т-критерий Уилкоксона, критерий Вилкоксона, критерий знаковых рангов Уилкоксона, критерий суммы рангов Уилкоксона) непараметрический статистический тест (критерий), используемый для проверки различий между двумя выборками парных или независимых измерений по уровню какого-либо количественного признака, измеренного в непрерывной или в порядковой шкале.. Впервые предложен Фрэнком Уилкоксоном. Другие названия — W-критерий Вилкоксона, критерий знаковых.

Источник

Эффективная оценка параметра в любой параметрической модели это

Оценка параметра эффективная

На стадии ТЭО должны быть решены все основные вопросы оценки экономической эффективности нового изделия определена база для сравнения, выявлены технические параметры, существенно влияющие на экономичность использования изделия, определена денежная оценка этих параметров, лимитная цена нового изделия. [c.284]

Ниже приведены формулы для расчета предельных значений некоторых из экономических параметров средств. Что касается экономически предельных значений материально-технических параметров, то их величины должны устанавливаться также в соответствии и с рекомендациями отраслевых методик и специальной литературы по оценке экономической эффективности новой техники, в которых учитывается специфика формирования и зависимостей отдельных [c.236]

Приоритетность народнохозяйственного интереса означает, что оценка эффективности отдельного стандарта или системы стандартов должна осуществляться по всему жизненному циклу продукции, если стандарт регламентирует требования к определенным ее параметрам. Если же стандарт является общетехническим или организационно-методическим, то оценка его эффективности должна осуществляться исходя из народнохозяйственных интересов. Может создаться положение, при котором для отдельных звеньев, например, изготовителя продукции, эффект при соблюдении требований стандарта является отрицательной величиной, в то время как для потребителя стандартизованной продукции он положительный. В этом случае оценка должна осуществляться как алгебраическая сумма эффектов по всему жизненному циклу продукции. [c.176]

У. Таким образом, мы возвращаемся к задаче распределения ресурса (1.2) — (1.4), где вместо точных значений параметров эффективности А взяты их пессимистичные оценки d,-. Решение этой задачи имеет вид [c.360]

Оценка эффективности управления может быть произведена по уровню реализации заданий, надежности и организованности системы управления, скорости и оптимальности принимаемых управленческих решений. Отдельные параметры эффективности оргструктуры можно определить, использовав ряд коэффициентов [c.60]

Несмещенная оценка 6 параметра 9 называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра 9, вычисленных по выборкам одного и того же объема п. [c.43]

Таким образом, оценки АО и Ь в определенном смысле являются наиболее эффективными линейными оценками параметров Р0и Pi. [c.62]

Для получения наиболее эффективных оценок параметра р в такой модели, если параметр р известен, можно применить обобщенный метод наименьших квадратов. [c.183]

Параметром замещения Э.(р/х) принято считать величину, обратную эластичности предельной эффективности дохода и имеющую отрицательное значение. Оценку параметра замещения для статического случая и полностью сбалансированного бюджета потребителя по Фришу [15] можно получить по следующей формуле [c.266]

Для практического использования изложенной выше методики оценки экономической эффективности вариантов развития систем газоснабжения необходимо правильно определить их технико-экономические характеристики и показатели для соответствующих расчетов. Показатели, предназначенные для пред-проектных, плановых и прогнозных расчетов, определяются на основании эмпирических формул, описывающих среднестатистические закономерности. Поэтому неизбежны отклонения искомых величин от их действительных значений на конкретных объектах. Отклонения должны быть в пределах, не исключающих необходимой достоверности результатов расчетов. При этом чем больше системы, для оценки технико-экономических параметров которых используются показатели, тем меньше отклонения средних величин от реальных. [c.22]

Безрисковая социальная (общественная) норма дисконта, используемая для оценки общественной и региональной эффективности, считается национальным параметром и должна устанавливаться централизованно органами управления экономикой народного хозяйства России в увязке с прогнозами экономического и социального развития страны. Впредь до ее централизованного установления она может приниматься на уровне безрисковой коммерческой нормы дисконта, принятой для оценки коммерческой эффективности проекта в целом. [c.92]

Таким образом, можно отметить, что большинство авторов принимают в качестве критерия оценки уровня эффективности параметрического ряда стоимостные показатели. В то же время некоторые из них считают возможным при выборе оптимального параметрического ряда ограничиться анализом затрат у изготовителя, большая часть считает необходимым учитывать в затраты, связанные с эксплуатацией машин, а в последних работах рекомендуется учитывать и дополнительные затраты, вызванные частичной заменяемостью между типоразмерами и несоответствием между параметрами работ и машин. [c.18]

Особенность книги заключается в разработке авторами теоретических, методических и практических вопросов оценки экономической эффективности новой техники в разработке и изложении комплексного подхода к определению эффективности новой техники (от стадии проектирования до внедрения и эксплуатации), ориентирующегося на скользящую базу сравнения вариантов, непрерывно развивающуюся под влиянием научно-технического прогресса в выявлении основных показателей, определяющих технико-экономический уровень и степень прогрессивности машин и оборудования в установлении количественного влияния данных показателей на эффективность, что дает возможность добиться оптимизации в выборе технических параметров новой техники на ранних стадиях ее создания и при практическом использовании предотвратить убыточные и малоэффективные разработки. [c.4]

Комплекс рассмотренных общих задач оценки экономической эффективности в сочетании с экономическим анализом образует так называемое экономическое конструирование или экономическую проработку. В ходе экономической проработки анализируются тенденции развития и перспективы спроса на данную машину, находятся наиболее рациональные сочетания параметров и конструктивно-технологических вариантов исполнения изделия с точки зрения технических и экономических требований устанавливается на стадии проектирования эталонная себестоимость изделия и допустимый диапазон ее изменения в сфере изготовления устраняется несогласованность между эталонной и фактической себестоимостью изделия на стадии изготовления (т. е. осуществляется управление себестоимостью). [c.56]

Имеются такие частные проектные задачи, когда сопоставляемые варианты не отражаются ни на условиях труда, ни на эксплуатационной надежности машины, ни на других качественных экономических параметрах. Естественно, что решение таких частных задач проще, чем оценка экономической эффективности внедрения всей проектируемой машины. [c.30]

Обобщающая оценка экономической эффективности внедрения электрической тяги на той или иной железной дороге производится с учетом таких качественных параметров, как ускорение доставки пассажиров. Это имеет особенно важное значение при оценке экономической эффективности электрификации пригородной железной дороги крупного промышленного центра. Электрификация железных дорог позволяет также улучшить условия труда железнодорожников и повысить общую культуру труда на железнодорожном транспорте. [c.243]

Статистические проверки параметров регрессии, показателей корреляции основаны на непроверяемых предпосылках распределения случайной составляющей б,. Они носят лишь предварительный характер. После построения уравнения регрессии проводится проверка наличия у оценок б, (случайных остатков) тех свойств, которые предполагались. Связано это с тем, что оценки параметров регрессии должны отвечать определенным критериям. Они должны быть несмещенными, состоятельными и эффективными. Эти свойства оценок, полученных по МНК, имеют чрезвычайно важное практическое значение в использовании результатов регрессии и корреляции. [c.155]

Для получения новых оценок параметров, для которых не нарушается свойство эффективности, воспользуемся методом расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции в остатках, изложенным в п. 6.4. [c.288]

Эндогенные переменные 212, 181 Эффективность оценок параметров регрессии 156 [c.340]

При заданных моделях, свойствах научного руководителя, среды и отношений между ними наибольший интерес вызывает проблема формирования информационного поля состояний научной деятельности обучающегося субъекта (кандидата), группы субъектов и характеристика научного курса. С целью обеспечения устойчивости научно-исследовательской деятельности кандидатов в перспективный резерв на основе идентификации состояний по выделенным параметрам, определяющих выдачу управляющих воздействий на изменение траектории достижения целей научно-исследовательской деятельности, оценки ее эффективности, принятие решения на продолжение движения по установленной или скорректированной траектории необходимо разработать формальную модель устойчивого научного развития субъекта. [c.272]

Объем производства КБУ, при котором достигается точка безубыточности, зависящая от соотношения постоянных и переменных затрат, цены, является принципиально важным экономическим параметром, по которому производится оценка экономической эффективности производства рассматриваемой продукции и выбор рационального варианта технологии производства. [c.97]

Сравнение рис. 3.7 и рис. 3.8 показывает, что уменьшение диапазона ДВ рассматриваемых границ интервала изменения параметра р в 2 раза с др = 1 до др = 0,5 существенно сузило величину зон постоянного контроля, где возможно возникновение как прибыльности, так и убыточности. Деление поля графической модели на зоны по прибыльности и убыточности ускоряет оценку состояния эффективности производства и сбыта продукции и является методом быстрой ориентировки для принятия решений по экономическому управлению. [c.109]

Необходимость обеспечения единства научно-технологической стратегии организации заставляет функцию принятия стратегических решений передавать высшему менеджменту организацией. С этой целью при высшем менеджменте создается коллективный орган по выработке и формулировке стратегических целей — технический (научно-технический) совет. В состав рассматриваемых советом вопросов входят цели научно-технологических программ, их поэтапная структура, оценка целесообразности выбора ответственных исполнителей (специалистов целевого коллектива), сроки представления промежуточных результатов, технико-экономические параметры программ, принципиальные технологические решения, оценка экономической эффективности программ, величина и состав необходимых для ее реализации ресурсов. [c.279]

Контроль за фактическим выполнением работ программы. Итак, первый шаг в процессе контроля заключается в сборе и обработке данных по фактическому состоянию работ. Менеджмент обязан непрерывно следить за ходом выполнения программы, определять степень завершенности работ и, исходя из текущего состояния, делать оценки параметров выполнения будущих работ. Для этого необходимо иметь эффективные обратные связи, дающие информацию о достигнутых результатах и затратах. [c.345]

Анализ чувствительности применяется для оценки изменения эффективности проекта при определенном изменении одного из исходных параметров чем сильнее это изменение, тем больше риск реализации. Может также применяться для определения наиболее влиятельного или влиятельных факторов из общей их совокупности. В этом случае [c.396]

Взяв на себя ответственность за качество продукции, генеральный директор отчетливо понимает (должен понимать), какие потоки информации вращаются в системе качества. Например, на Борском стекольном заводе в производстве Автостекло ежедневно измеряется более 40 тыс. параметров. Даже генеральный руководитель не в состоянии охватить всю информацию о качестве. Система качества нужна руководителю как средство вовлечения всех работников в работу по качеству и распределения ответственности, полномочий и взаимодействий между ними. Генеральный директор назначает из числа высших руководителей ответственного за создание, функционирование и развитие системы качества. При этом он декларирует, что непосредственно сам руководит работами по качеству в компании через систему качества. В рамках системы осуществляется регулярная оценка ее эффективности при помощи внутренних и внешних аудитов. Отчеты об эффективности системы, несоответствиях и замечаниях представляются высшему руководству компании для утверждения планов по реализации корректирующих и предупреждающих действий. [c.321]

При традиционных методах используемое информационное обеспечение является неполным, недостаточно достоверным, не представляет собой систему, которую можно подготовить на ЭВМ и использовать в оптимизационных процедурах. Поэтому необходимо разработать принципиальный метод перспективного планирования и формирования системы информационного обеспечения, основанный на экспресс-проектировании объектов. Сущность его состоит в макетировании на ЭВМ будущих объектов (на 5—7-летнюю перспективу) из заранее разработанных типоразмерных рядов блоков (по которым имеется нормативная и другая информация о параметрах, характеристиках, ресурсопотреблении и технико-экономических показателях) и последующей машинной систематизации, группировке, агрегировании и дезагрегировании нормативных показателей. В процессе перебора вариантных решений для поиска оптимального программа должна обеспечивать подбор оптимальных блоков и суммирование информации о стоимости и определении принятого критерия оценки экономической эффективности (приведенные затраты и т. п.). [c.26]

Если удастся построить АКМ4-модель для ряда остатков, то можно получить эффективные оценки параметра р, а также несмещенные и состоятельные оценки дисперсий р с помощью обобщенного метода наименьших квадратов. Мы рассмотрим эту процедуру на простейшей (и в то же время наиболее часто встречающейся) авторегрессионной модели первого порядка. [c.181]

Использование AR H- и СЛЛСЯ-моделей оказывается в ряде случаев экономико-математического моделирования (например, процессов инфляции и внешней торговли, механизмов формирования нормы процента и т. п.) более адекватным действительности, что позволяет строить более эффективные оценки параметров рассматриваемых моделей по сравнению с оценками, полученными обычным и даже обобщенным методом наименьших квадратов. [c.217]

Программа для ЭВМ, составленная на основе разработанного алгоритма, позволяет для любых исходных данных определять оптимальные параметры, типы оборудования для ГТК и соответствующие им эконоыче-ские показатели. С ее применением можно также решать другие практические задачи, в частности, задачи оценки экономической эффективности повышения концентрации пульпы, снижения сроков осуществления намыва, увеличения дальности гидротранспортирования и другие. [c.70]

При оценке экономической эффективности применения спроектированного прибора должны быть учтены эксплуатационная надежность и срок службы прибора, удобство его обслуживания и т. п. Для некоторых приборов важное значение имеет уменьшение потребления электроэнергии. Так, для сельской радиофикации в настоящее время созданы новые, более экономичные по питанию приемноусилительные лампы батарейных приемников,, которые позволяют увеличить срок службы батарей. Новые телевизионные приемники наряду с улучшенными основными эксплуатационными параметрами (изображение на экране в 4—5 раз больше, чем у прежнего телевизора более устойчивое изображение упрощение управления) потребляют в то же время меньше электроэнергии. [c.255]

Этот шаг является критерием оценки постоптимизационной эффективности. Совокупность значений параметров лучшей модели, найденная на первом шаге и определяемая целевой функцией, тестируется на дополнительном, смежном отрезке ценовой истории. Другими словами, топ-модель тестируется посредством имитации реальной торговли. [c.132]

Коэффициент корреляции, рассчитанный по уровням временных рядов, равен 0,997. Это говорит об очень тесной прямой связи между расходами на конечное потребление и среднедушевым доходом в США в период с 1960 по 1991 г. Однако при расчете параметров уравнения регрессии мы сталкиваемся с другой проблемой — автокорреляцией в остатках (фактическое значение критерия Дарбина — Уотсона составляет 0,521, что свидетельствует о наличии положительной автокорреляции в остатках). Поэтому найденные оценки параметров уравнения регрессии — 174,75 и 0,922 не являются эффективными ввиду нарушения предпосылок МНК в этом уравнении. [c.288]

При фиксированных одних параметрах, не поддающихся изменению в данных условиях, на графических моделях определяются необходимые уровни изменения управляемых параметров, благодаря чему в короткие сроки находится необходимое управленческое решение, обеспечивающее нормальную экономическую эффективность. Простота оценки экономической эффективности выпуска продукции и нахождения совокупности управляемых параметров и их требуемого соотношения позволяет быстро находить область целесообразных решений, при которых достигается требуемая норма эффективности. При этом ряд решений, обеспечивающих требуемую эффективность, является многовариантным и в зависимости от реальных трудностей реализации каждого варианта может быть выбрано наиболее легкореализуемое решение. [c.144]

Учет конечной емкости источников. Рассмотрение АДЦ как системы с двумя источниками бесконечной емкости, не меняющими концентрации и температуры при тепло- и массообмене с раствором, очень сильно упрощает реальные циклы, хотя и дает более точные оценки их эффективности по сравнению с обратимыми. В действительности нужно учесть, что контакт между абсорбентом и газом в абсорбере или паром (инертным газом) в десорбере осуществляется распределение, при этом параметры контактирующих сред меняются по длине контакта. Кроме этого фактора реальные циклы включают теплообменники, регенерирующие тепло, полученное абсорбентом в десорбере, холодильники для конденсации пара и отделения таким образом выделенных примесей. Часто в процессе абсорбции происходит выделение тепла чтобы это обстоятельство и связанное с ним повышение температуры абсорбента не ухудшало процесс абсорбции, устанавливают дополнительные холодильники. [c.210]

Источник

Эффективная оценка параметра в любой параметрической модели это

image078

image080

Примечание. При описании вероятностной модели известные статистику параметры отмечены плюсами, оцениваемые – минусами.

Поскольку асимптотическое распределение оценок метода моментов известно, то не представляет труда формулировка правил проверки статистических гипотез относительно значений параметров распределений, а также построение доверительных границ для параметров. Например, в вероятностной модели, когда все три параметра неизвестны, в соответствии с третьей строкой таблицы 3 нижняя доверительная граница для параметра а, соответствующая доверительной вероятности γ = 0,95, в асимптотике имеет вид

image082

а верхняя доверительная граница для той же доверительной вероятности такова

image084

Метод моментов является универсальным. Однако получаемые с его помощью оценки лишь в редких случаях обладают оптимальными свойствами. Поэтому в прикладной статистике применяют и другие виды оценок.

В работах, предназначенных для первоначального знакомства с математической статистикой, обычно рассматривают оценки максимального правдоподобия (сокращенно ОМП):

image086 (7)

Таким образом, сначала строится плотность распределения вероятностей, соответствующая выборке. Поскольку элементы выборки независимы, то эта плотность представляется в виде произведения плотностей для отдельных элементов выборки. Совместная плотность рассматривается в точке, соответствующей наблюденным значениям. Это выражение как функция от параметра (при заданных элементах выборки) называется функцией правдоподобия. Затем тем или иным способом ищется значение параметра, при котором значение совместной плотности максимально. Это и есть оценка максимального правдоподобия.

Хорошо известно, что оценки максимального правдоподобия входят в класс наилучших асимптотически нормальных оценок (определение дано ниже). Однако при конечных объемах выборки в ряде задач ОМП недопустимы, т.к. они хуже ( дисперсия и средний квадрат ошибки больше), чем другие оценки, в частности, несмещенные [6]. Именно поэтому в ГОСТ 11.010-81 для оценивания параметров отрицательного биномиального распределения используются несмещенные оценки, а не ОМП [7]. Из сказанного следует априорно предпочитать ОМП другим видам оценок можно – если можно – лишь на этапе изучения асимптотического поведения оценок.

В отдельных случаях ОМП находятся явно, в виде конкретных формул, пригодных для вычисления.

Пример 3. Найдем ОМП для выборки из нормального распределения, каждый элемент которой имеет плотность

image088

Таким образом, надо оценить двумерный параметр (m, σ 2 ).

Произведение плотностей вероятностей для элементов выборки, т.е. функция правдоподобия, имеет вид

image090 (8)

Требуется решить задачу оптимизации

image092

Как и во многих иных случаях, задача оптимизации проще решается, если прологарифмировать функцию правдоподобия, т.е. перейти к функции

image094,

называемой логарифмической функцией правдоподобия. Для выборки из нормального распределения

image096 (9)

Необходимым условием максимума является равенство 0 частных производных от логарифмической функции правдоподобия по параметрам, т.е.

image098 (10)

Система (10) называется системой уравнений максимального правдоподобия. В общем случае число уравнений равно числу неизвестных параметров, а каждое из уравнений выписывается путем приравнивания 0 частной производной логарифмической функции правдоподобия по тому или иному параметру.

При дифференцировании по m первые два слагаемых в правой части формулы (9) обращаются в 0, а последнее слагаемое дает уравнение

Следовательно, оценкой m* максимального правдоподобия параметра m является выборочное среднее арифметическое,

Для нахождения оценки дисперсии необходимо решить уравнение

image104

image106

Следовательно, оценкой (σ 2 )* максимального правдоподобия для дисперсии σ 2 с учетом найденной ранее оценки для параметра m является выборочная дисперсия,

image108

Итак, система уравнений максимального правдоподобия решена аналитически, ОМП для математического ожидания и дисперсии нормального распределения – это выборочное среднее арифметическое и выборочная дисперсия. Отметим, что последняя оценка является смещенной.

Отметим, что в условиях примера 3 оценки метода максимального правдоподобия совпадают с оценками метода моментов. Причем вид оценок метода моментов очевиден и не требует проведения каких-либо рассуждений.

В большинстве случаев аналитических решений не существует, для нахождения ОМП необходимо применять численные методы. Так обстоит дело, например, с выборками из гамма-распределения или распределения Вейбулла-Гнеденко. Во многих работах каким-либо итерационным методом решают систему уравнений максимального правдоподобия ([8] и др.) или впрямую максимизируют функцию правдоподобия типа (8) (см. [9] и др.).

Однако применение численных методов порождает многочисленные проблемы. Сходимость итерационных методов требует обоснования. В ряде примеров функция правдоподобия имеет много локальных максимумов, а потому естественные итерационные процедуры не сходятся [10]. Для данных ВНИИ железнодорожного транспорта по усталостным испытаниям стали уравнение максимального правдоподобия имеет 11 корней [11]. Какой из одиннадцати использовать в качестве оценки параметра?

Как следствие осознания указанных трудностей, стали появляться работы по доказательству сходимости алгоритмов нахождения оценок максимального правдоподобия для конкретных вероятностных моделей и конкретных алгоритмов. Примером является статья [12].

Однако теоретическое доказательство сходимости итерационного алгоритма – это еще не всё. Возникает вопрос об обоснованном выборе момента прекращения вычислений в связи с достижением требуемой точности. В большинстве случаев он не решен.

Но и это не все. Точность вычислений необходимо увязывать с объемом выборки – чем он больше, тем точнее надо находить оценки параметров, в противном случае нельзя говорить о состоятельности метода оценивания. Более того, при увеличении объема выборки необходимо увеличивать и количество используемых в компьютере разрядов, переходить от одинарной точности расчетов к двойной и далее – опять-таки ради достижения состоятельности оценок.

Таким образом, при отсутствии явных формул для оценок максимального правдоподобия нахождение ОМП натыкается на ряд проблем вычислительного характера. Специалисты по математической статистике позволяют себе игнорировать все эти проблемы, рассуждая об ОМП в теоретическом плане. Однако прикладная статистика не может их игнорировать. Отмеченные проблемы ставят под вопрос целесообразность практического использования ОМП.

Нет необходимости абсолютизировать ОМП. Кроме них, существуют другие виды оценок, обладающих хорошими статистическими свойствами. Примером являются одношаговые оценки (ОШ-оценки).

В прикладной статистике разработано много видов оценок. Упомянем квантильные оценки. Они основаны на идее, аналогичной методу моментов, но только вместо выборочных и теоретических моментов приравниваются выборочные и теоретические квантили. Другая группа оценок базируется на идее минимизации расстояния (показателя различия) между эмпирическими данными и элементом параметрического семейства. В простейшем случае минимизируется евклидово расстояние между эмпирическими и теоретическими гистограммами, а точнее, векторами, составленными из высот столбиков гистограмм.

Источник

Справочник по обустройству дома и дачи
Adblock
detector