Электрические цепи с распределенными параметрами общие сведения уравнения однородной линии

5. Электрические цепи с распределенными параметрами

5.1. Основные определения

В этом разделе будем рассматривать длинные линии или цепи, сводящиеся к длинным линиям.

Электрическими линиями с распределенными параметраминазы­вают такие линии, в которых для одного и того же момента времени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) линии к другой, соседней точке.

Под магнитными линиями с распределенными параметрамипони­мают такие линии, магнитный поток и магнитное напряжение вдоль которых непрерывно меняются при переходе от одной точки линии к соседней.

Эффект непрерывного изменения тока (потока) и электрического (магнитного) напряжения вдоль линии существует вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными сопротивлениями (рис. 5.1, а).

На схеме (рис. 5.1, а) изображен участок линии с распределен­ными параметрами, через dxобозначен бесконечно малый элемент длины линии.

В результате утечки тока через сопротивление Z₄ток. Аналогично, токи т. д. Напряжение между точкамиаиb не равно напряжению между точкамисиd и т. д.

В электрических линиях с распределенными параметрами продоль­ные сопротивления образованы активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии длиной dx.Поперечные сопротивления состоят из сопротивле­ний утечки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции между проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими друг другу элементами (участками) линии. В магнитных линиях с рас­пределенными параметрами продольные сопротивления представляют собой магнитные сопротивления самих магнитных стержней, образую­щих магнитную линию, а поперечные сопротивления обусловлены утечкой магнитного потока по воздуху между противостоящими друг другу участками линии.

Линию с распределенными параметрами называют однородной,если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины и если равны друг другу все поперечные сопро­тивления участков линии одинаковой длины. Так, участок линии (рис. 5.1,а) однороден, еслиZ₁ = Z₂ =Z₃ =. иZ₄ =Z₅ =Z₆.

Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если продольные сопротивления в ней различны или поперечные сопротивления неодинаковы.

Кроме того, линии с распределенными параметрами можно под­разделить на две большие группы: нелинейные и линейные.

В качестве примера нелинейной электрической линии с распреде­ленными параметрами можно назвать электрическую линию передачи высокого напряжения при наличии между проводами линии тихого электрического разряда—явления короны на проводах. В этом слу­чае емкость между противостоящими друг другу участками линии является функцией напряжения между этими участками.

В качестве примера нелинейной магнитной линии с распределен­ными параметрами можно назвать линию, образованную параллельно расположенными магнитными сердечниками, которые в процессе работы линии могут насыщаться.

Когда говорят о линии с распределенными параметрами, то обычно этот термин мысленно связывают с мощными линиями передачи элек­трической энергии на большие расстояния, с телефонными и телеграф­ными воздушными или кабельными линиями, с рельсовыми линиями автоблокировки на железнодорожном транспорте, с антеннами в ра­диотехнике и другими родственными линиями и установками.

В то же время с линиями с распределенными параметрами имеют дело и тогда, когда «линий» в буквальном смысле слова, казалось бы, вовсе нет. Так, обычная индуктивная катушка при достаточно высо­ких частотах представляет собой линию с распределенными парамет­рами (рис. 5.1,б). Из рисунка (рис.5.1,в) видно, что кроме индуктивностей в схеме замещения есть межвитковые емкости и емкости на корпус прибора (на землю).

Если по катушке проходит переменный ток, то через межвитко­вые емкости и емкости на землю также идет ток. При одном и том же напряжении между соседними витками ток через емкости тем больше, чем выше частота переменного тока. При низкой частоте (десятки, сотни, тысячи герц) ток через емкости несоизмеримо мал по сравнению с токами через витки катушки и наличие емкостей можно не учитывать в расчете (что и делалось до сих пор). Если же частота тока очень велика, например сотни миллиардов герц, то токи через емкости могут во много раз превышать токи через витки катушки. В этом случае вся катушка в целом будет оказывать прохождению переменного тока емкостное, а не индуктивное сопротивление (коли­чественные изменения перешли в качественные). При промежуточных частотах порядка нескольких мегагерц (когда линейные размеры ка­тушки соизмеримы с длиной волны) индуктивная катушка является типичной линией с распределенными параметрами. Если индуктивная катушка намотана на стальной сердечник, который способен насы­щаться и частота тока достаточно велика, то все устройство в целом представляет собой сложную совокупность из электрической и маг­нитной нелинейных цепей с распределенными параметрами.

В курсе ТОЭ изучают только основы однородных линейных цепей с распределенными параметрами. Вся теория излагается применительно к электрическим линиям с распределенными параметрами на перемен­ном токе. Теория однородных линейных электрических цепей с рас­пределенными параметрами на постоянном токе непосредственно сле­дует из теории цепей переменного тока, если принять угловую частоту равной нулю.

Теория однородных линейных магнитных линий на постоянном токе в значительной мере аналогична теории однородных линейных электрических линий с распределенными параметрами, только вместо тока в уравнении должен быть подставлен магнитный поток, вместо электрического напряжения — маг­нитное напряжение, вместо продоль­ного активного сопротивления — продольное магнитное сопротивле­ние, вместо поперечной электриче­ской проводимости — поперечная магнитная проводимость.

Источник

302_toe / ТОЭ 3 / Лекция №36

13. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

13.1. Понятие об электрических цепях с распределенными параметрами

Строго говоря, всегда параметры электрической цепи в той или иной степени распределены вдоль ее участков, и только абстрагируясь от действительности можно предполагать, что такие параметры цепи как активное сопротивление – R, индуктивность – L и емкость – C сосредоточены в ее определенных участках. Во многих случаях такое допущение не приводит к существенным ошибкам в результатах проводимого анализа. Ранее мы имели дело с цепями с сосредоточенными параметрами. Однако, такой подход не всегда возможен. Например, рассматривая электромагнитные процессы, происходящие в электрических линиях, при помощи которых электрическая энергия или сигналы передаются на расстояние, необходимо иметь ввиду, что электрические и магнитные поля распределены по всей длине линии, и превращение электрической энергии в тепло также происходит по всей длине линии. Критерием необходимости рассматривать цепь в качестве цепи с распределенными параметрами является то, что интервал времени распространения электромагнитной волны вдоль всей цепи и интервал времени, в течение которого токи и напряжения меняются на заметную величину, должны быть соизмеримыми.

Токи напряжения в таких цепях являются функциями двух независимых переменных: времени – t и расстояния – x, отсчитываемого вдоль направления цепи. Уравнения, описывающие процессы в таких цепях, являются уравнениями в частных производных. Примерами являются линии передачи электрической энергии, линии связи, антенные вводы радиотехнических устройств, обмотки электрических машин при воздействии на них импульсных токов и напряжений.

Параметры цепи могут быть распределены неравномерно вдоль линии.

Однако во многих случаях этим можно пренебречь и считать параметры равномерно распределенными. Такие линии называются однородными.

В дальнейшем под величинами R, L, C, G, M будем понимать активное сопротивление, индуктивность и т.д., приходящиеся на единицу длины, и будем обозначать их через R₀, L₀, C₀, G₀, M₀. В общем случае эти параметры зависят от частоты, например, увеличение активного сопротивления и индуктивности с ростом частоты вследствие поверхностного эффекта. Однако для простоты в дальнейшем это учитывать не будем.

13.2. Уравнения линии с распределенными параметрами

Напряжения и ток в линии являются функциями двух независимых переменных – пространственной координаты x, определяющей место наблюдения, и времени t, определяющей момент наблюдения. Считается, что направление координаты x совпадает с осью линии.

Необходимо найти пространственно-временное распределение величины тока в линии i(x, t) и напряжения между проводами u(x, t). В этом случае также можно определить процесс передачи энергии по линии, когда приемники и источники находятся на обоих концах линии.

Приняв положительное направление тока в линии слева направо, условимся называть «началом» левый конец линии. Расстояние от начальной точки до произвольной обозначим через x, а от конца – через x‘. Вся длина линии l = x + x‘.

Выделим элементарный участок x на расстоянии x от начала. Пользуясь первичными параметрами R₀, L₀, C₀, G₀, отнесенными к единице длины линии, представим приближенно участок x в виде схемы замещения (рис. 13.1).

Источник

Цепи с распределенными параметрами. Однородные линии. Уравнения передачи однородной линии

Страницы работы

Содержание работы

XVIII Цепи с распределенными параметрами

18.1 Однородные линии

Электрическая цепь, у которой геометрические размеры соизмеримы с длинной волны ( ) и у которых индуктивность, емкость, сопротивление и проводимость распределены по длине, называется электрической цепью с распределенными параметрами.

Если геометрические размеры электрической цепи намного меньше длины волны  ( ), то такая электрическая цепь называется цепью с сосредоточенными параметрами. Условие – условие квазистационарности

Первичные параметры однородной длинной линии.

равны значениям соответствующих распределенных параметров, измеренных на отрезке линии единичной длины (1 км для линии проводной связи и 1 м для линии радиосвязи).

К первичным параметрам относятся:

–сопротивление R; –проводимость G; – индуктивность L; – емкость С.

Вторичные параметры длинной линии

2. Коэффициент распространения

 – коэффициент ослабления длинной линии [Нп/км], [Нп/м] или [ДБ/км], [ДБ/м];

Характеризует изменение тока и напряжения по абсолютной величине на единицу длины

— собственное ослабления линии [Нп] или [ДБ];

Ослабление сигнала на расстоянии х от начала линии

 – коэффициент фазы [рад/км], [рад/м], [градус/км], [градус/м].

Характеризует изменение тока и напряжения по фазе на единицу длины

— собственная фаза линии [рад], [градус].

18.2 Уравнения передачи однородной линии

Телеграфные уравнения длинной линии

Для установившегося гармонического колебания телеграфные уравнения имеют вид

Для решения телеграфных уравнений необходимо разделить переменные (U и I). Для этого продифференцируем уравнения по х. В полученные уравнения подставим вместо и их выражения из системы уравнений для установившегося гармонического колебания

Волновые уравнения длинной линии

Поскольку волновые уравнения – линейные дифференциальные однородные уравнения 2-го порядка, то их решение в произвольном сечении х находится в виде

– постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий, в качестве которых обычно используют напряжение и ток, либо в начале линии ( и при х = 0), либо ток и напряжение в конце линии ( и при х = ).

Решение для тока, как правило, выражают через найденное напряжение

Определяем постоянные интегрирования из системы уравнений для напряжения и тока при x = 0

Уравнения передачи в гиперболической форме

18.3 Волновые процессы в однородной длинной линии

В линиях с потерями (  0) рассматривают бегущие затухающие прямые и обратные волны и их суперпозиции. Бегущая волна – волна, перемещающаяся вдоль линии.

Прямая бегущая волна – волна, перемещающаяся от начала к концу линии. Обратная бегущая волна – волна, перемещающаяся от конца к началу линии

Падающая волна – прямая бегущая волна. Отраженная волна – частный случай обратной бегущей волны, возникающей в результате неравенства волнового сопротивления линии и сопротивления нагрузки ( ).

Уравнения передачи для мгновенных значений в любом сечении

Соотношения между волнами в начале (x = 0) и в конце (x = l) линии

Длина волны – расстояние между ближайшими точками х1 и х2, взятое в направлении распространения волны, фазы колебания в которых отличаются на 2.

Фазовая скорость – скорость перемещения фазы колебания

За один период колебания бегущая волна проходит расстояние, равное длине волны

Коэффициент отражения по напряжению (току) –отношение комплексной амплитуды отраженной волны напряжения (тока) к комплексной амплитуде падающей волны напряжения (тока).

показывает, какую часть комплексной амплитуды падающей волны составляет комплексная амплитуда отраженной волны

Коэффициенты отражения по напряжению и по току в начале линии

Коэффициенты отражения по напряжению и по току в конце линии

Режим согласованного включения

Линия без искажений

Линия, на приемном конце которой сохраняется форма передаваемого сигнала

Для такой передачи необходимо:

2. 3. Линия согласованно нагружена

Для реальных линий обычно

Уменьшение R – увеличение диаметра провода (дорого)

Уменьшение С – увеличение расстояния между проводами (не всегда возможно)

Увеличение G – рост затухания

Лучше всего – искусственное увеличение L

При передаче ВЧ сигнала автоматически получается линия без искажений

18.4 Волновые процессы длинной линии без потерь

Такая линия, для которой (для небольших линий на СВЧ)

Входное сопротивление линии

1. Согласованный режим работы в длинной линии без потерь

Режим бегущей волны

2. Режим короткого замыкания

Уравнение стоячей волны

Амплитуды напряжения и тока являются функциями координаты х

Нулевое значение – узел стоячей волны Максимальное значение – пучность стоячей волны

Стоячие волны возникают в длинной линии без потерь при условии, когда к длинной линии подключена нагрузка, модуль коэффициента отражения которой равен 1, при этом амплитуды падающей и отраженной волн напряжения (тока) переносят одинаковую мощность в прямом и обратном направлениях и энергия в нагрузке не потребляется.

3. Режим холостого хода

4. Линия, нагруженная на активное сопротивление, не равное волновому

— режим смешанных волн

Коэффициент бегущей волны

используется для оценки близости смешанной волны к режиму бегущей волны

Источник