Эллипс параметры и свойства

Содержание
  1. Эллипс параметры и свойства
  2. Эллипс и его свойства
  3. Содержание
  4. Связанные определения
  5. Соотношения между элементами фигуры
  6. Координатное представление
  7. Длина дуги эллипса
  8. Приближённые формулы для периметра
  9. Точные формулы для периметра
  10. Площадь эллипса
  11. Определение и элементы эллипса
  12. Основные свойства эллипса
  13. Уравнение эллипса
  14. Площадь эллипса
  15. Площадь сегмента эллипса
  16. Длина дуги эллипса
  17. Радиус круга, вписанного в эллипс
  18. Радиус круга, описанного вокруг эллипса
  19. Как построить эллипс
  20. Эллипс — свойства, уравнение и построение фигуры
  21. Определение и элементы эллипса
  22. Основные свойства эллипса
  23. Уравнение эллипса
  24. Площадь эллипса
  25. Площадь сегмента эллипса
  26. Длина дуги эллипса
  27. Радиус круга, вписанного в эллипс
  28. Радиус круга, описанного вокруг эллипса
  29. Как построить эллипс
  30. Основные свойства эллипса
  31. Геометрические свойства эллипса
  32. Свойство 1
  33. Свойство 2
  34. Свойство 3
  35. Свойство 4

Эллипс параметры и свойства

Рассмотрим свойства эллипса.

Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Пусть – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки до фокусов эллипса.

63229915669564 12 63229915669574 13

Рассмотрим выражение

63229915669584 14
63229915669584 15

Здесь мы учли, что координаты точки удовлетворяют уравнению эллипса.

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Действительно, используя полученные выражения для расстояний от точки эллипса до его фокусов, получим

63229915669644 20

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как

63229915669895 38

то чем больше ε, тем более сжат эллипс.

При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При эллипс превращается в окружность.

Координаты точки 63229915669945 41при переходе в новую систему будут равны:

63229915669955 42

То есть точка в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус 63229915669965 43эллипса и поэтому совпадет с ним.

С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.

Источник

Эллипс и его свойства

pngпричём png

Также эллипс можно определить как:

Содержание

Связанные определения

Соотношения между элементами фигуры

png

png.

png

png png png png png png
png— большая полуось png png png png png png
png— малая полуось png png png png png png
png— фокальное расстояние png png png png png png
png— фокальный параметр png png png png png png
png— перифокусное расстояние png png png png png png
png— апофокусное расстояние png png png png png png

Координатное представление

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

png

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

png

После замены pngвыражение для длины дуги принимает окончательный вид:

png

png,

Приближённые формулы для периметра

png

Максимальная погрешность этой формулы

0,63 % при эксцентриситете эллипса

0,988 (соотношение осей

1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

png, где png

Максимальная погрешность этой формулы

0,36 % при эксцентриситете эллипса

0,980 (соотношение осей

1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при pngРамануджана :

png

При эксцентриситете эллипса

0,980 (соотношение осей

1/5) погрешность составляет

0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Еще точней оказалась вторая формула Рамануджана:

png

Точные формулы для периметра

Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

png

png

где png— Арифметико-геометрическое среднее 1 и png, а png— модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и png, которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.

Площадь эллипса

Площадь эллипса вычисляется по формуле

png

pngШаблон:Нет АИ

Если эллипс задан уравнением png, то площадь можно определить по формуле

png.

Источник

Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Основные свойства эллипса

имеются две оси и один центр симметрии;

при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

c – половина фокального расстояния;

M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)

После ввода ещё одного обозначения

получается наиболее простой вид уравнения:

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

a – большая полуось, b – малая.

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

Источник

Эллипс — свойства, уравнение и построение фигуры

Среди центральных кривых второго порядка особое место занимает эллипс, близкий к окружности, обладающий похожими свойствами, но всё же уникальный и неповторимый.

Определение и элементы эллипса

Множество точек координатной плоскости, для каждой из которых выполняется условие: сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется эллипсом.

fe6a23744acead22b384e794d2cca6c7

По форме график эллипса представляет замкнутую овальную кривую:

Наиболее простым случаем является расположение линии так, чтобы каждая точка имела симметричную пару относительно начала координат, а координатные оси являлись осями симметрии.

Отрезки осей симметрии, соединяющие две точки эллипса, называются осями. Различаются по размерам (большая и малая), а их половинки, соответственно, считаются полуосями.

Точки эллипса, являющиеся концами осей, называются вершинами.

Расстояния от точки на линии до фокусов получили название фокальных радиусов.

Расстояние между фокусами есть фокальное расстояние.

Отношение фокального расстояния к большей оси называется эксцентриситетом. Это особая характеристика, показывающая вытянутость или сплющенность фигуры.

Основные свойства эллипса

имеются две оси и один центр симметрии;

при равенстве полуосей линия превращается в окружность;

все точки фигуры лежат внутри прямоугольника со сторонами, равными большой и малой осям эллипса, проходящими через вершины параллельно осям.

Уравнение эллипса

Пусть линия расположена так, чтобы центр симметрии совпадал с началом координат, а оси – с осями координат.

2130578189b2abad90fcb6a5b75f8a9e

Для составления уравнения достаточно воспользоваться определением, введя обозначение:

а – большая полуось (в наиболее простом виде её располагают вдоль оси Оx) (большая ось, соответственно, равна 2a);

c – половина фокального расстояния;

M(x;y) – произвольная точка линии.

В этом случае фокусы находятся в точках F1(-c;0); F2(c;0)

cf6bbf9047331fbd736bb00c5347c98a

bd83a32b32411e36a01c909360759d97

После ввода ещё одного обозначения

получается наиболее простой вид уравнения:

a 2 b 2 — a 2 y 2 — x 2 b 2 = 0,

c6dfd7de79379c3f56ae69a4a9f56bb3

Параметр b численно равен полуоси, расположенной вдоль Oy (a > b).

В случае (b b) формула эксцентриситета (ε) принимает вид:

c3c09fff5fdb9da4aff6a4613bde8e54

57717268dbe7d73ebeb8c07ab962a414

Чем меньше эксцентриситет, тем более сжатым будет эллипс.

Площадь эллипса

Площадь фигуры (овала), ограниченной эллипсом, можно вычислить по формуле:

29b6affd428e3e8ce3693c1acbec2999

6113b0d1c23e8e0bc108bbde451c9533

a – большая полуось, b – малая.

Площадь сегмента эллипса

Часть эллипса, отсекаемая прямой, называется его сегментом.

22a9132a8cf63ff7b83170f8a226606c, где

(xo;y0) – крайняя точка сегмента.

Длина дуги эллипса

Длина дуги находится с помощью определённого интеграла по соответствующей формуле при введении параметра:

cb9d43eaffd469a9825447c9f7636f4d

Радиус круга, вписанного в эллипс

В отличие от многоугольников, круг, вписанный в эллипс, касается его только в двух точках. Поэтому наименьшее расстояние между точками эллипса (содержащее центр) совпадает с диаметром круга:

Радиус круга, описанного вокруг эллипса

Окружность, описанная около эллипса, касается его также только в двух точках. Поэтому наибольшее расстояние между точками эллипса совпадает с диаметром круга:

Онлайн калькулятор позволяет по известным параметрам вычислить остальные, найти площадь эллипса или его части, длину дуги всей фигуры или заключённой между двумя заданными точками.

Как построить эллипс

Построение линии удобно выполнять в декартовых координатах в каноническом виде.

3c69dbf6590b516cefae7fae1742cf25

c81996959eeaa68c02da3eb93163b56e

Строится прямоугольник. Для этого проводятся прямые:

dccb0c97386f2f0a1b9a29e4c1c4a7c2

Сглаживая углы, проводится линия по сторонам прямоугольника.

Полученная фигура есть эллипс. По координатам отмечается каждый фокус.

При вращении вокруг любой из осей координат образуется поверхность, которая называется эллипсоид.

Источник

Основные свойства эллипса

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства эллипса, сопроводив их наглядными рисунками для лучшего восприятия представленной информации.

Примечание: определение эллипса, его основные элементы и уравнение мы рассмотрели в отдельной публикации.

Геометрические свойства эллипса

Свойство 1

Угол между касательной, проведенной к эллипсу, и фокальным радиусом r1 равняется углу между этой же касательной и фокальным радиусом r2.

ellips svoystva 1

Свойство 2

Уравнение касательной, проведенной к эллипсу (касание в точке M) с координатами ( xM, yM) выглядит следующим образом:

ellips svoystva 4

Свойство 3

Допустим эллипс пересекают две параллельные прямые. Отрезок, который соединяет середины отрезков, получившихся при пересечении прямых и эллипса, всегда будет проходит через центр фигуры.

ellips svoystva 3

Свойство 4

Допустим эллипс с фокусами F1 и F2 вписан в треугольник ABC.

ellips svoystva 2

В этом случае справедливо соотношение ниже:

Источник

Справочник по обустройству дома и дачи
Adblock
detector