Эллипсы с какими наборами параметров невозможны

Параметры эллипса

Точки F1(–c, 0) и F2(c, 0), где image2575называются фокусами эллипса, при этом величина 2c определяет междуфокусное расстояние.

Точки А1(–а, 0), А2(а, 0), В1(0, –b), B2(0, b) называются вершинами эллипса (рис. 9.2), при этом А1А2 = 2а образует большую ось эллипса, а В1В2 – малую, image2577– центр эллипса.

Основные параметры эллипса, характеризующие его форму:

ε = с/aэксцентриситет эллипса;

image2579фокальные радиусы эллипса (точка М принадлежит эллипсу), причем r1 = a + εx, r2 = aεx;

image2581директрисы эллипса.

image2582

Для эллипса справедливо: image2584директрисы не пересекают границу и внутреннюю область эллипса, а также обладают свойством image2586

Эксцентриситет эллипса выражает его меру «сжатости».

Если b > a > 0, то эллипс задается уравнением (9.7), для которого вместо условия (9.8) выполняется условие

image2588. (9.9)

Тогда 2а – малая ось, 2b – большая ось, image2590 image2592 image2594– фокусы (рис. 9.3). При этом r1 + r2 = 2b,
ε = c/b, директрисы определяются уравнениями:

image2596

image2597

При условии image2599имеем (в виде частного случая эллипса) окружность радиуса R = a. При этом с = 0, а значит, ε = 0.

Точки эллипса обладают характеристическим свойством: сумма расстояний от каждой из них до фокусов есть величина постоянная, равная 2а (рис. 9.2).

Для параметрического задания эллипса (формула (9.7)) в случаях выполнения условий (9.8) и (9.9) в качестве параметра t может быть взята величина угла между радиус-вектором точки, лежащей на эллипсе, и положительным направлением оси Ox:

image2601

где image2603

Если центр эллипса с полуосями image2605 image2607находится в точке image2609то его уравнение имеет вид:

image2611(9.10)

Пример 1. Привести уравнение эллипса x 2 + 4y 2 = 16 к каноническому виду и определить его параметры. Изобразить эллипс.

Решение. Разделим уравнение x 2 + 4y 2 = 16 на 16, после чего получим:

image2613

По виду полученного уравнения заключаем, что это каноническое уравнение эллипса (формула (9.7)), где а = 4 – большая полуось, b = 2 – малая полуось. Значит, вершинами эллипса являются точки A1(–4, 0), A2(4, 0), B1(0, –2), B2(0, 2). Так как image2615– половина междуфокусного расстояния, то точки image2617 image2619являются фокусами эллипса. Вычислим эксцентриситет:

image2621

image2623

Изображаем эллипс (рис. 9.4).

image2626

Пример 2. Определить параметры эллипса

image2628

Решение. Сравним данное уравнение с каноническим уравнением эллипса image2630со смещенным центром. Находим центр эллипса С: image2632 image2634Большая полуось image2636малая полуось image2638прямые image2640 image2642– главные оси. Половина междуфокусного расстояния image2644а значит, фокусы image2646 image2648Эксцентриситет image2621Директрисы D1 и D2 могут быть описаны с помощью уравнений: image2651 image2653(рис. 9.5).

image2654

Пример 3. Определить, какая кривая задается уравнением, изобразить ее:

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

5) image2656

Решение. 1) Приведем уравнение к каноническому виду методом выделения полного квадрата двучлена:

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

Таким образом, уравнение может быть приведено к виду

Это уравнение окружности с центром в точке (–2, 1) и радиусом R = 1 (рис. 9.6).

image2657

2) Выделяем полные квадраты двучленов в левой части уравнения и получаем:

Это уравнение не имеет смысла на множестве действительных чисел, так как левая часть неотрицательна при любых действительных значениях переменных x и y, а правая – отрицательна. Поэтому говорят, что это уравнение «мнимой окружности» или оно задает пустое множество точек плоскости.

3) Выделяем полные квадраты:

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

Значит, уравнение имеет вид:

image2659или image2661

Полученное уравнение, а следовательно, и исходное задают эллипс. Центр эллипса находится в точке О1(1, –2), главные оси задаются уравнениями y = –2, x = 1, причем большая полуось а = 4, малая полуось b = 2 (рис. 9.7).

image2662

4) После выделения полных квадратов имеем:

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 17 + 17 = 0 или (x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Полученное уравнение задает единственную точку плоскости с координатами (1, –2).

5) Приведем уравнение к каноническому виду:

image2664

image2666

image2668

Очевидно, оно задает эллипс, центр которого находится в точке image2670главные оси задаются уравнениями image2672причем большая полуось image2674малая полуось image2676(рис. 9.8).

image2677

Пример 4. Записать уравнение касательной к окружности радиуса 2 с центром в правом фокусе эллипса x 2 + 4y 2 = 4 в точке пересечения с осью ординат.

Решение. Уравнение эллипса приведем к каноническому виду (9.7):

image2679

Значит, image2681и правый фокус – image2683Поэтому, искомое уравнение окружности радиуса 2 имеет вид (рис. 9.9):

image2685

Окружность пересекает ось ординат в точках, координаты которых определяются из системы уравнений:

image2687

image2689

Пусть это точки N (0; –1) и М (0; 1). Значит, можно построить две касательные, обозначим их Т1 и Т2. По известному свойству касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть image2691 image2693Тогда уравнение касательной Т1 примет вид:

image2695

image2697значит, image2699или Т1: image2701

image2703Тогда уравнение касательной Т2 примет вид:

image2705

image2707значит, image2699или Т2: image2709

image2711

Пример 5. Записать уравнение окружности, проходящей через точку М(1, –2) и точки пересечения прямой x – 7y + 10 = 0 с окружностью x 2 + y 2 – 2x + 4y – 20 = 0.

Решение. Найдем точки пересечения прямой x – 7y + 10 = 0 с окружностью x 2 + y 2 – 2x + 4y – 20 = 0, решив систему уравнений:

image2713

Выразим х из первого уравнения системы:

Затем подставим во второе:

(7y – 10) 2 + y 2 – 2(7y – 10) + 4y – 20 = 0.

Оно равносильно уравнению

Используя формулы корней квадратного уравнения, найдем y1 = 1, y2 = 2, откуда x1 = –3, x2 = 4.

Итак, имеем три точки, лежащие на окружности: M(1, –2), M1(4, 2) и M2(–3, 1). Пусть О1(x0, y0) – центр окружности. Тогда image2715где R – радиус окружности.

Найдем координаты векторов:

image2717

image2719

что равносильно системе

image2721

image2723

Решая последнюю систему, получаем ответ:

image2725

Таким образом, центр окружности находится в точке (0,5; 1,5), ее радиус

image2727

Тогда каноническое уравнение искомой окружности имеет вид:

image2729

Дата добавления: 2015-09-29 ; просмотров: 5519 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Эллипс и его свойства

pngпричём png

Также эллипс можно определить как:

Содержание

Связанные определения

Соотношения между элементами фигуры

png

png.

png

png png png png png png
png— большая полуось png png png png png png
png— малая полуось png png png png png png
png— фокальное расстояние png png png png png png
png— фокальный параметр png png png png png png
png— перифокусное расстояние png png png png png png
png— апофокусное расстояние png png png png png png

Координатное представление

Длина дуги эллипса

Длина дуги плоской линии определяется по формуле:

png

Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса получаем следующее выражение:

png

После замены pngвыражение для длины дуги принимает окончательный вид:

png

png,

Приближённые формулы для периметра

png

Максимальная погрешность этой формулы

0,63 % при эксцентриситете эллипса

0,988 (соотношение осей

1/6,5). Погрешность всегда положительная.

Приблизительно в два раза меньшие погрешности в широком диапазоне эксцентриситетов дает формула:

png, где png

Максимальная погрешность этой формулы

0,36 % при эксцентриситете эллипса

0,980 (соотношение осей

1/5). Погрешность также всегда положительная.

Существенно лучшую точность при pngРамануджана :

png

При эксцентриситете эллипса

0,980 (соотношение осей

1/5) погрешность составляет

0,02 %. Погрешность всегда отрицательная.

Еще точней оказалась вторая формула Рамануджана:

png

Точные формулы для периметра

Джеймс Айвори и Фридрих Бессель независимо друг от друга получили формулу для периметра эллипса:

png

png

где png— Арифметико-геометрическое среднее 1 и png, а png— модифицированное арифметико-геометрическое среднее 1 и png, которое было введено С. Ф. Адлаем в статье 2012 года.

Площадь эллипса

Площадь эллипса вычисляется по формуле

png

pngШаблон:Нет АИ

Если эллипс задан уравнением png, то площадь можно определить по формуле

png.

Источник

Справочник по обустройству дома и дачи
Adblock
detector