Теорема о непрерывности собственного интеграла по параметру

Содержание

Собственные интегралы, зависящие от параметра
Определение собственного интеграла, зависящего от параметра.
Свойства собственного интеграла, зависящего от параметра.
Интегралы, зависящие от параметра
Теорема 1:
Несобственный интеграл
Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость
Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру.
Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов по параметру.
Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость несобственного интеграла по параметру.
Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.
Интегрирование по параметру

Собственные интегралы, зависящие от параметра

Определение собственного интеграла, зависящего от параметра.

Обычно $Y$ является числовым множеством или множеством в $\boldsymbol^$. Например,
$$
J_<0>(x) = \frac<1> <\pi>\int\limits_<0>^ <\pi>\cos (x \cos \varphi)\ d\varphi\label
$$
есть собственный интеграл, зависящий от параметра $x \in (-\infty, +\infty)$.

Свойства собственного интеграла, зависящего от параметра.

(Теорема о непрерывной зависимости собственного интеграла от параметра).

Если функция $f(x, y)$ непрерывна в прямоугольнике $K = \<(x, y): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\>$, то интеграл \eqref есть непрерывная функция параметра $y$ на $[c, d]$.

Доказательство этой теоремы приведено мы приводили ранее.

(Теорема о перестановке порядка интегрирования).

$\circ$ Каждый из повторных интегралов в формуле \eqref равен двойному интегралу от функции $f(x, y)$ по прямоугольнику $K$ (соответствующую теорему мы доказывали). $\bullet$

(Теорема о дифференцировании собственного интеграла по параметру).

Пусть функция $f(x, y)$ непрерывна в прямоугольнике $K = \<(x, y): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d\>$ и имеет непрерывную частную производную $\displaystyle\frac<\partial f(x, y)><\partial y>$ в области $G$ такой, что $K \subset G$.

Левая часть равенства \eqref может быть записана как $\displaystyle\int\limits_^ \varphi(\eta) d\eta$. Так как функция $\varphi(\eta)$ непрерывна на отрезке $[c, d]$, то
$$
\frac \int\limits_^ \varphi(\eta)\ d\eta = \varphi(y) = \int\limits_^ \frac<\partial f><\partial y>(x, y)\ dx.\nonumber
$$

Теоремы 1-3 остаются справедливыми и при замене функции $f(x, y)$ на функцию $\psi(x)f(x, y)$, где функция $\psi(x)$ интегрируема на отрезке $[a, b]$.

Источник

Интегралы, зависящие от параметра

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Собственные интегралы, зависящие от параметра 1.1. Понятие интеграла, зависящего от параметра, и его непрерывность Пусть в прямоугольнике определена функция двух переменных f(x, у) (рис. 1). Предположим, что при любом фиксированном значении у е [с, d] существует интеграл ь Ясно, что этот интеграл является функцией переменного у, Интеграл (1) называется интегралом, зависящим от параметра у. Имеет место следующая теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра.

Теорема 1:

Если функция /(х, у) непрерывна в прямоугольнике П, то функция /(у), определенная соотношением (1), непрерывна на отрезке [с, d\. Из формулы (1) вытекает, что приращение ) функции /(у), соответствующее приращению аргумента Ду, можно оценить так: По условию теоремы функция f у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, а значит, fy) равномерно непрерывна в этом прямоугольнике.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Интеграл (1) называется абсолютно сходящимся на отрезке [с, d\, если сходится интеграл Собственные интегралы зависящие от параметра Дифференцирование интеграла no параметру Интегрирование интеграла по параметру Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра Равномерная сходимость несобственного интеграла Критерий Коши Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра 2.2. Равномерная сходимость несобственного интеграла. Критерий Коши Определение 2.

Несобственный интеграл

Несобственный интеграл (1) называется равномерно сходящимся по параметру у наотрезке [с, d), если он сходится наэтомотрезкеи для любого е > 0 можно указать такое А ^ а, зависящее только от е, что для всех В > А и для всех у из отрезка [с, d\ выполняется неравенство Имеетместоследующий критерий Коши равномерной сходимости несобстве нных интегралов, зависящих от параметра.

Теорема 4. Для того, чтобы несобственный интеграл (1) равномерно сходился по параметру у на отрезке [с, d\, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 можно было указать число А ^ а, зависящее только от е и такое, что для любых В и С, больших А, и для всех у из отрезка [с, d] выполнялось неравенство Справедливость этого критерия вытекает непосредственно из определения равномерной сходимости. Сформулируем достаточный признак равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Теорема 5 (признак Вейерштрасса).

Пусть функция /(х, у) определена в пыупыосе Поо и для каждого у € | с, d] интегрируема по х на любом отрезке [а, Л]. Пусть, кроме того, для всех точек полуполосы П^ выполняется неравенство Тогда из сходимости интеграла f g(x) dx вытекает равномерная сходимость по у наот- резке [с, d] несобственного интегрша В силу критерия Коши сходимости интеграла от функции для любого е > О можно указать число А ^ а такое, что при всех С > В ^ А выполняется неравенство Используя неравенство (4), отсюда получим, что для всех у из отрезка Тем самым, критерий Коши равномерной сходимости интеграла выполнен. Цитр 1.

Иссладова тъ на равномерную сходимость несобственный иктграл где я — параметр, Так как при любом произвольные вещественные числа, выполняется неравенство и интеграл сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл (5) равномерно сходится для всех 2.3. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра Свойство 1. Непрерывность несобственного интеграла по параметру. Если функция непрерывна в области Поо и интеграл сходится равномернопо у наотрезкс (с, dj,то функция 1(у) непрерывна на Свойство 2. Интегрируемость несобственно го интеграла по параметру.

В самом деле, при любом в, и откуда по признаку Вейерштрасса следует равномерная сходимость интеграла (9). Обозначая подынтегральную функцию интеграла (5) через замечаем, что — подынтегральная функция равномерно сходящегося интеграла (9). Используя свойство дифференцируемое™ несобственного интеграла по параметру, получим Так как 1($) = (в этом легко убедиться путем интегрирования по частям), то Отсюда Пример 3.

Покажем сначала, что несобственный интеграл Собственные интегралы зависящие от параметра Дифференцирование интеграла no параметру Интегрирование интеграла по параметру Понятие несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра Равномерная сходимость несобственного интеграла Критерий Коши Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра зависящий от параметра у, сходится равномерно на отрезке (а, 6).

Присылайте задания в любое время дня и ночи в whatsapp.

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость

Равномерная сходимость несобственных интегралов по параметру.

Предположим, что выполнены следующие условия:

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-x>\cos xy\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру у на интервале $(-\infty, +\infty) = \mathbb$.

$\vartriangle$ Для любого $\varepsilon > 0$ существует $b’ = \displaystyle\ln \frac<2><\varepsilon>$ такое, что для любого $\xi \in [b’, +\infty)$ и любого $y \in Y$ выполняется неравенство
$$
\left|\int\limits_<\xi>^ <+\infty>e^ <-x>\cos xy\ dx\right| \leq \int\limits_<\xi>^ <+\infty>e^<-x>\ dx = e^ <-\xi>\leq e^ <-b’>= \frac<\varepsilon> <2>Определение.

Интеграл
$$
I_ = \int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx\nonumber
$$
сходится неравномерно по параметру $y$ на полуинтервале $[0, +\infty)$.

$\vartriangle$ Возьмем $\varepsilon = e^<-1>$. Тогда для любого $b’ \in (0, +\infty)$ существует $\xi = b’$ и $y = 1/b’$ такие, что
$$
\int\limits_<\xi>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx = \int\limits_^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx = \int\limits_^ <+\infty>e^<-t>\ dt = \int\limits_<1>^ <+\infty>e^<-t>\ dt = e^ <-1>= \varepsilon,\nonumber
$$
и поэтому интеграл $\displaystyle I_ = \int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-xy>\ dx$ сходится неравномерно по параметру $y$ на множестве $Y = [0, +\infty)$. $\blacktriangle$

Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов по параметру.

(Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Пусть для любого $y \in Y$ функция $f(x, y)$ интегрируема по $x$ на любом отрезке $[a, b’] \subset [a, b)$, и пусть на $[a, b)$ существует функция $\varphi(x)$ такая, что для всех $y \in Y$ и всех $x \in [a, b)$ выполнено неравенство $|f(x, y)| \leq \varphi(x)$, а несобственный интеграл $\displaystyle\int\limits_^ \varphi(x)\ dx$ сходится.

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру $y$ на интервале $(-\infty, +\infty)$.

$\vartriangle$ Так как $\displaystyle\frac<|\cos xy|><1+x^<2>> \leq \frac<1><1+x^<2>>$ и $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = \frac<\pi><2>$, то по признаку Вейерштрасса интеграл \eqref сходится равномерно по параметру $y$ на $(-\infty, +\infty)$. $\blacktriangle$

Докажем признак Дирихле равномерной сходимости для интегралов вида
$$
\int\limits_^ <+\infty>f(x, y) g(x, y)\ dx,\ y \in Y.\label
$$

(Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Тогда интеграл \eqref сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$.

$\circ$ По признаку Дирихле несобственный интеграл \eqref сходится при любом $y \in Y$. Покажем, что он сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$.

Так как по условию 4) функция $\psi(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow +\infty$, то для любого $\varepsilon > 0$ существует $a’ > a$ такое, что для любого $\xi \in [a’, +\infty)$ выполнено неравенство
$$
\psi(\xi) Замечание 2.

Если $+\infty$ — единственная особая точка сходящегося интеграла \eqref, то этот интеграл сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$ в том и только том случае, когда при любом $a’ > a$ интеграл $\displaystyle\int\limits_^ <+\infty>f(x, y) g(x, y)\ dx$ сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$.

Поэтому для справедливости утверждения теоремы 2 достаточно, чтобы условия 1)-4) выполнялись на некотором промежутке $[a’, +\infty) \subset [a, +\infty)$.

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-xy>\frac<\sin x>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру $y$ при $y \in [0, +\infty)$.

$\vartriangle$ Так как функция $\sin x$ имеет ограниченную первообразную, а при $x \geq 1$, $y \geq 0$ выполнены следующие условия:
$$
\frac<\partial> <\partial x>\left(\frac>\right) =-\frac>>(1+xy) Теорема 3.

(Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Получаем, что для любого $\xi \in [b’, b)$ и для любого $y \in Y$ выполнено неравенство $\displaystyle\left|\int\limits_<\xi>^ f(x, y)\ dx\right| \leq \varepsilon$, из которого следует, что интеграл $\int\limits_^ f(x, y)\ dx$ сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$. $\bullet$

Применяя правило построения отрицания, получаем из критерия Коши полезное следствие.

Если существует $\varepsilon_ <0>> 0$ такое, что для любого $b’ \in [a, b)$ существуют $\xi_<0>, \xi’_ <0>\in [b’, b)$ и существует $y_ <0>\in Y$ такие, что
$$
\left|\int\limits_<\xi_<0>>^<\xi’_<0>> f(x, y_<0>)\ dx\right| \geq \varepsilon_<0>,
$$
то интеграл $\displaystyle\int\limits_^ f(x, y)\ dx$ не сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $Y$.

Интеграл
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\alpha x^<2>>\ dx\label
$$
сходится равномерно по параметру $\alpha$ на множестве $[\alpha_<0>, +\infty)$, $\alpha_ <0>> 0$, и сходится неравномерно на множестве $(0, +\infty)$.

$\vartriangle$ Пусть $\alpha \geq \alpha_ <0>> 0$. Так как $e^<-\alpha x^<2>> \leq e^ <-\alpha_<0>x^<2>>$ и $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\alpha x^<2>>\ dx$ сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл \eqref сходится равномерно по параметру $\alpha$ на множестве $[\alpha_<0>, +\infty)$.

Пусть теперь $\alpha \in (0, +\infty)$. Покажем, что на $(0, +\infty)$ интеграл \eqref сходится неравномерно. Воспользуемся следствием из критерия Коши. Возьмем $\varepsilon_ <0>= e^<-1>$, для любого $b > 0$ возьмем $\xi_ <0>= b$, $\xi’_ <0>= b+1$, $\alpha_ <0>= 1/(b+1)^<2>$. Тогда
$$
\int\limits_<\xi_<0>>^<\xi’_<0>> e^ <-\alpha_<0>x^<2>>\ dx = \int\limits_^ e^ <-\alpha_<0>x^<2>>\ dx \geq e^ <-\alpha_<0>(b+1)^<2>> \int\limits_^ dx = e^ <-1>= \varepsilon_<0>\nonumber
$$
и, следовательно, интеграл \eqref сходится неравномерно по параметру $\alpha$ на множестве $(0, +\infty)$. $\blacktriangle$

Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость несобственного интеграла по параметру.

$\vartriangle$ Если функцию $\displaystyle\frac<\sin x>$ доопределить при $x = 0$ по непрерывности, считая, что при $x = 0$ функция $\frac<\sin x>$ принимает значение, равное единице, то подынтегральная функция интеграла \eqref будет непрерывной на множестве $\<(x, y): x \geq 0, y \geq 0\>$.

При рассмотрении примера 4 было показано, что интеграл \eqref сходится равномерно по параметру $y$ на множестве $[0, +\infty)$. В силу теоремы 4 интеграл \eqref есть непрерывная функция параметра $y$ на любом отрезке $[0, b]$. В частности, эта функция непрерывна при $y = 0$, поэтому должно быть выполнено равенство \eqref. $\blacktriangle$

(Теорема о перестановке порядка интегрирования).

$\vartriangle$ Воспользуемся известной формулой
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-xy>\sin x\ dx = \frac<1><1+y^<2>>,\ y > 0.\label
$$

Интеграл \eqref сходится равномерно по параметру $y$ на любом отрезке $[\delta, N]$, где $\delta > 0$. Это следует из признака Вейерштрасса равномерной сходимости, так как
$$
|e^ <-xy>\sin x\ dx| \leq e^<-\delta x>,\quad \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-\delta x>\ dx = \frac<1><\delta>.\nonumber
$$
Применяя теорему 5 и интегрируя равенство \eqref, получаем
$$
\operatorname N-\operatorname \delta = \int\limits_<0>^<+\infty>\ dx \int\limits_<\delta>^ e^ <-xy>\sin x\ dy = \int\limits_<0>^ <+\infty>\dfrac-e^<-Nx>> \sin x\ dx.\label
$$

Так как $|\sin x| \leq x$ при $x \geq 0$, то
$$
\left|\int\limits_<0>^ <+\infty>\dfrac\sin x>\ dx\right| \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-Nx>\ dx = \frac<1>.\nonumber
$$
Переходя к пределу при $N \rightarrow +\infty$ в равенстве \eqref, получаем
$$
\frac<\pi><2>-\operatorname \delta = \int\limits_<0>^ <+\infty>e^ <-\delta x>\frac<\sin x>\ dx.
$$
Воспользовавшись равенством \eqref и переходя к пределу при $\delta \rightarrow +0$, получаем выражение \eqref для интеграла Дирихле. $\blacktriangle$

(Теорема о дифференцировании несобственного интеграла по параметру).

Пусть функции $f(x, y)$ и $f_(x, y)$ непрерывны на множестве $\<(x, y):\ a\leq x Доказательство.

\(\circ$ Пусть $c \leq y \leq d$. Рассмотрим интеграл $\displaystyle\int\limits_^ f_(x, \eta)\ dx$ при $\eta \in [c, y]$.

Покажем, что $C_ <2>= 0$. Так как
$$
|I_<1>(y)| = \left|\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx\right| \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<|\cos xy|><1+x^<2>>\ dx \leq \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = \frac<\pi><2>,\nonumber
$$
то $I_<1>(y)$ есть ограниченная функция на $[\delta, +\infty)$. Так как $e^$ — неограниченная функция на $[\delta, +\infty)$, то в формуле \eqref нужно принять $C_ <2>= 0$.

Замечая, что интеграл Лапласа $I_<1>(y)$ есть четная функция на $(-\infty, +\infty)$, а интеграл $I_<2>(y)$ есть нечетная функция на $(-\infty, +\infty)$, перепишем равенство \eqref в следующем виде:
$$
I_<1>(y) = C_<1>e^<-|y|>,\ I_<2>(y) = C_<1>\ \operatorname\ ye^<-|y|>\ \mbox<при>\ y \neq 0.\label
$$

Для определения произвольной постоянной $C_<1>$ воспользуемся тем, что интеграл Лапласа $I_<1>(y)$ сходится равномерно по параметру $y$ на $(-\infty, +\infty)$ (пример 3). Поэтому $I_<1>(y)$ есть непрерывная функция в точке $y = 0$. Следовательно,
$$
\frac<\pi> <2>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>> = I_<1>(0) = \lim_ I_<1>(y) = \lim_ C_<1>e^ <-y>= C_<1>.\nonumber
$$
Теперь формулы \eqref дают, что при любом $y \in \boldsymbol$
$$
\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<\cos xy><1+x^<2>>\ dx = \frac<\pi><2>e^<-|y|>,\\ \int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<2>>\ dx = \frac<\pi><2>\ \operatorname\ ye^<-|y|>.\label
$$
То, что формулы \eqref справедливы при $y = 0$, проверяется непосредственно. $\blacktriangle$

Перестановка порядка интегрирования в том случае, когда оба интеграла несобственные.

В теореме 5 была обоснована перестановка порядка интегрирования, когда внутренний интеграл несобственный, а внешний собственный. Сложнее обосновывать перестановку порядка интегрирования, когда оба интеграла несобственные.

Пусть функция $f(x, y)$ непрерывна на множестве $\<(x, y): a \leq x \leq b,\ c \leq y \leq d\>$ и выполнены следующие условия:

Теоремы 4-7 остаются справедливыми и при замене функции $f(x, y)$ на функцию $\psi(x)f(x, y)$, где функция $\psi(x)$ интегрируема по Риману на любом отрезке, лежащем в интервале $(a, b)$.

Если $f(x, y) = \varphi(x, y)+i\psi(x, y)$ есть комплекснозначная функция, то
$$
|\varphi(x, y)| \leq |f(x, y)|,\ |\psi(x, y)| \leq |f(x, y)|.\nonumber
$$

Все условия теоремы будут выполнены и для функций $\varphi(x, y)$ и $\psi(x, y)$, если $f(x, y)$ удовлетворяет условиям теоремы 7. Поэтому оба повторных интеграла от каждой из этих функций существуют и равны. Следовательно, существуют и равны повторные интегралы от функции $f(x, y)$.

Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона (интеграл вероятностей)
$$
I = \int\limits_<0>^ <+\infty>e^<-t^<2>> dt.\nonumber
$$

Для обоснования законности изменения порядка интегрирования применим теорему 7. Интеграл $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx$ сходится равномерно по параметру $y$ на любом отрезке $[c, d] \subset (0, +\infty)$ по признаку Вейерштрасса, так как $|ye^<-y^<2>(1+x^<2>)>| \leq de^<-c^<2>(1+x^<2>)>$ а интеграл $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>de^<-c^<2>(1+x^<2>)> dx$ сходится.

Аналогично доказывается, что интеграл $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx$ сходится равномерно по параметру $x$ на любом отрезке $[a, b] \subset (0, +\infty)$. Повторный интеграл $\int\limits_<0>^ <+\infty>ye^<-y^<2>(1+x^<2>)> dx$ сходится в силу равенства \eqref.

Вычислить интегралы Френеля
$$
J_ <1>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\sin x^<2>\ dx,\ J_ <2>= \int\limits_<0>^ <+\infty>\cos x^<2>\ dx.
$$

При написании формул \eqref использована равномерная сходимость несобственных интегралов в правых частях равенств \eqref по параметру $k$ при $k \geq 0$ (признак Дирихле).

Изменение порядка интегрирования при $k > 0$ обосновывается при помощи теоремы 7, предельный переход при $k \rightarrow +0$ под знаком интеграла возможен в силу его равномерной сходимости по параметру $k$ при $k \in [0, +\infty)$ (признак Вейерштрасса). Интегралы $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\frac<1+x^<4>>$ и $\displaystyle\int\limits_<0>^ <+\infty>\fracdx><1+x^<4>>$ вычислены нами ранее (примеры здесь и здесь). $\blacktriangle$

Источник

Интегрирование по параметру

Глава 7

Собственные интегралы (Римана), зависящие от параметра

Пусть f(x,y) – функция двух переменных, определённая на прямоугольнике

Таким образом, мы получаем новый способ задания функции – в виде интеграла, зависящего от параметра, т.е. определяемые т.о. функции часто используют в математических рассуждениях и приложениях.

Следует иметь ввиду, что

Пример 1. Рассмотрим функцию

В этом примере интеграл легко вычислить:

Значит, можно задать и обычным способом:

Однако часто встречаются интегралы, которые не выражаются через элементарные функции. Тогда приходится работать с функцией, заданной в виде интеграла с параметром. Значит, нужно научиться работать с такими функциями – в частности, знать правила их дифференцирования и интегрирования.

Возможна и более сложная ситуация, когда от параметра зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования:

Основные теоремы

Предельный переход под знаком интеграла

Теорема 1 (о непрерывности интеграла с параметром).

Если функция f(x,y) непрерывна на прямоугольнике то

функция непрерывна на отрезке

Доказательство. По теореме Кантора, непрерывная на компактном множестве ∆ функция является равномерно непрерывной, т.е.

Возьмём Тогда из равномерной непрерывности следует:

Оценим теперь приращение функции I(y):

Итак, что и означает непрерывность функции I(y).

Замечание. В теореме 1 требуется, чтобы f(x,y) была непрерывной по обеим переменным в совокупности, т.е. чтобы

Недостаточно, чтобы f(x,y) была непрерывной по каждой из переменных. Например, функция

непрерывна по x (при любом фиксированном y), и непрерывна по y (при любом фиксированном x). Однако она не является непрерывной в точке (0,0) функцией (по совокупности переменных): предел не

существует. В данном случае не справедлив и вывод теоремы 1; например, функция

разрывна в точке y = 0.

Так как непрерывность в точке I(y) означает, по определению, что

в любой точке y₀, то непосредственно из теоремы 1

Теорема 2 (о предельном переходе под знаком интеграла).

Если f(x,y) непрерывна на то для любого

то можно доказать, что

Это утверждение усиливает теоремы 1 и 2.

Ещё одно усиление теорем 1,2 связано с заменой требования непрерывности f(x,y) более слабым условием.

Теорема 3. Если f(x,y) непрерывна по x (при любом фиксированном y) и f(x,y) равномерно сходится к функции g(x) при y→y₀, то

Равномерная сходимость: означает:

Доказательство. просто – оно проводится с помощью той же оценки, что и доказательство теоремы 1.

Теорема 3 справедлива также в случае y → ∞, лишь определение равномерной сходимости имеет другой вид:

Решение. Так как функция непрерывны при любых

x,y, то возможен предельный переход под знаком интеграла:

Решение. Подынтегральная функция непрерывна при любых x, y и y→∞ стремится к g(x)=x:

Эта система равномерная, так как

Дифференцирование по параметру

Дифференцируемость интеграла зависящего от параметра (Правило Лейбница)

Пусть для интеграла , в котором подынтегральная функция зависит от некоторого параметра «у» будет меняться, то будет меняться и значение определенного интеграла.

Т.о. определенный интеграл есть функция от «у» поэтому мы его можем обозначить через

Теорема 4. Предположим, что и ,

Доказательство

Найдем производную интеграла по параметру «у». Для и приращение таких, что

. Тогда производная

Заметим, что

Поделим обе части последнего равенства на « »

Применяя теорему Лагранжа к подынтегральной функции, будем иметь:

, где

Осталось доказать, что можно перейти к пределу под знаком интеграла. Чтобы воспользоваться теоремой 3, докажем, что ( — замкнутая область)

, где зависит от стремится к нулю при

Т.о.

Переходя к пределу при получаем:

Или

Эта формула называется формулой Лейбница.

(Замечание: Подынтегральная функция в интеграле стремится к нулю при . Из того, что подынтегральная функция в каждой (.) стремится к нулю, не всегда следует, что интеграл также стремится к нулю. Однако в данном случае при . Этот факт мы принимаем без доказательства.)

Пример 4. Найти производную функции в точке y = 2.

Решение. Можно, вычислив интеграл, найти явное выражение для функции I(y), а затем продифференцировать. Проще, однако, применить теорему 4:

При и значениях y, близких к 2, функция и её частная

Пример 5. Вычислить

Применим подстановку t = tg x. Тогда

Теперь, вычисляя интеграл, получим:

Константу C найти легко, так как

Научимся теперь вычислять производные в случае, если от параметра зависит не только подынтегральная функция, но и пределы интегрирования.

Теорема 5.

Доказательство. Возьмём произвольную точку и воспользуемся аддитивностью интеграла:

Найдём производную 3-го слагаемого по определению:

Мы воспользовались теоремой о среднем для определённого интеграла, а затем – непрерывностью f(x,y) и дифференцируемостью β(y). В точности так же вычисляется и производная 1-го слагаемого:

Производная 2-го слагаемого вычисляется по теореме 4:

Складывая все 3 слагаемые, получим требуемую формулу.

Решение. Здесь требуется дифференцировать интеграл по параметру x. Действуем по формуле теоремы 5:

Интегрирование по параметру

Теорема 7. Пусть функция f(x,y) непрерывна в прямоугольнике

Или, что то же самое,

Доказательство. Докажем более общее соотношение. Пусть t – произвольная точка отрезка [c, d]. Докажем, что

Найдем производную по t от каждой части этого равенства. Применяя теорему 5 (иди давно известную нам теорему об интеграле с переменным верхним пределом), получим:

В правой части равенства (*) – интеграл, зависящий от параметра t. Дифференцируем его, применяя теорему 4:

Одинаковые результаты говорят о том, что функции в левой и правой частях равенства (*) отличаются лишь на константу:

Это верно. В частности, при t = c получим: 0 = 0 + C, т.е.

С = 0, и равенство доказано. Если применить его при t = d, получим утверждение теоремы.

Теорема 7’. Пусть

Тогда

Заметим, что если , тогда интеграл в скобках – непрерывная функция на . Поэтому все интегралы в утверждении теоремы определены.

Для каждого положим , .

Поскольку то , . Функция ,

при непрерывна по «х» на , согласно теоремы 3 (о непрерывности I(y))

Для любой точки и . Поэтому согласно теоремы 4, для . Т.о. , . Причем . Следовательно .

Доказываемое равенство получим при .

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение. Интегрирование в указанном порядке затруднительно:

Пользуясь теоремой 6, изменим порядок интегрирования.

Интеграл вычислен. Попутно получено соотношение:

Приведём пример, показывающий, что при нарушении непрерывности подинтегральной функции изменение порядка интегрирования может привести к другому результату.

Пример 8. Вычислим интеграл:

При вычислении в другом порядке можно заметить, что если сменить знак подинтегральной функции, то получится уже рассмотренный интеграл:

Источник