Уравнения линейные по параметрам эконометрика

Системы эконометрических уравнений

Эконометрика как учебная дисциплина на современном этапе благодаря своей универсальности и возможности практического использования для анализа реальных экономических объектов является одним из базовых курсов в системе высшего экономического образования.

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

1 1

Эконометрика

Эконометрика — это статистико-математический анализ экономических отношений.

Сущность эконометрики заключается в модельном описании функционирования конкретной экономической системы (экономики данной страны, спроса-предложения в данное время в данном месте и т.д.). Одним из основных этапов эконометрических исследований является анализ устойчивости построенной модели, отражающей взаимосвязи между экономическими показателями, и проверка ее на адекватность реальным экономическим данным и процессам.

Виды систем эконометрических уравнений

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений, применяемых в эконометрике:

• система независимых уравнений — когда каждая зависимая переменная image 19132рассматривается как функция одного и того же набора факторов image 19133:

image 19140

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению в отдельности;

• система рекурсивных уравнений — когда зависимая переменная image 19132одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении:

image 19141

Для построения такой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов, применяемый последовательно к каждому уравнению в отдельности;

• система взаимосвязанных (совместных) уравнений — когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а другие в правую:

image 19143

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Для построения таких систем и нахождения их параметров используются косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Введем следующие определения:

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы — приведенная форма модели:

image 19148

где image 19149— коэффициенты приведенной формы модели.

Проблема идентификации

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т. е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема.

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели.

Модель еверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы.

Сверхидентифицируемая модель, в отличие от неидентифицируемой, модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой.

Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Обозначим через image 19151— число эндогенных переменных в уравнении, а через image 19152— число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе. Тогда необходимое условие идентификации отдельного уравнения принимает вид:

Если необходимое условие выполнено, то далее проверяется достаточное условие идентификации.

Достаточное условие идентификации — определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Косвенный МНК состоит в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

• составляют приведенную форму модели и определяют численные значения ее параметров обычным МНК;

• выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяются двухшаговым МНК, и находят расчетные значения этих эндогенных переменных по соответствующим уравнениям приведенной системы;

• обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части уравнения.

Решение эконометрических уравнений

Пример задачи с уравнением №4.2.1.

Рассматривается модель протекционизма Сальватора (упрощенная версия):

image 19160

image 19161— доля импорта в ВВП;
image 19162— общее число прошений об освобождении от таможенных пошлин; image 19163— число удовлетворенных прошений об освобождении от таможенных пошлин;

image 19164— фиктивная переменная, равная 1 для тех лет, в которые курс доллара на международных валютных рынках был искусственно завышен, и 0-для всех остальных лет;

image 19165— реальный ВВП;

image 19166— реальный объем чистого экспорта; image 19168— текущий период; image 19169— предыдущий период; image 19170и image 19171— случайные ошибки. Задание.

Решение:

Модель включает три эндогенные переменные image 19172и четыре предопределенные переменные (три экзогенные image 19173и одну лаговую эндогенную image 19174).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает три эндогенные переменные image 19172и две предопределенные ( image 19175и image 19174). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные image 19172и одну предопределенную image 19176. Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные image 19172и одну предопределенную image 19177. Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>3. Уравнение сверхидентифицировано.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

image 19178

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее, чем число эндогенных переменных модели минус 1, т.е. в данной задаче больше или равен 3-1=2.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

image 19179

image 19180

image 19181

Следовательно, для 1 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение точно идентифицируемо. 2 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

image 19182

image 19183

так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

image 19184

Следовательно, для 2 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо. 3 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

image 19185

Ранг этой матрицы image 19186, так как она содержит отличный от нуля минор второго порядка

image 19187

Следовательно, для 3 уравнения достаточное условие выполняется, это уравнение сверхидентифицируемо.

image 19188

Пример задачи с уравнением №4.2.2.

Рассматривается структурная модель вида:

image 19189

image 19190

найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

Модель включает три эндогенные переменные image 19191и три предопределенные переменные (экзогенные image 19192).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( image 19193и image 19194) и две предопределенные ( image 19195и image 19196). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает три эндогенные переменные image 19191и одну предопределенную image 19197. Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 2+1=3. Уравнение идентифицировано.

Это уравнение включает две эндогенные переменные (image 19198и image 19194) и две предопределенные ( image 19195и image 19196). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, равно числу эндогенных переменных, входящих в уравнение: 1 + 1=2. Уравнение идентифицировано. Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации.

Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

image 19199

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

image 19200

image 19201

image 19202

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для первого уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

image 19203

image 19204

image 19205

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для второго уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

image 19206

image 19207

image 19208

что не менее чем число эндогенных переменных системы минус один. Следовательно, для третьего уравнения достаточное условие идентификации выполнено, уравнение точно идентифицируемо.

image 19209

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим image 19211(так как его нет в первом уравнении структурной формы)

image 19210

Данное выражение содержит переменные image 19212и image 19196которые входят в правую часть первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение image 19211в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ)

image 19213

Откуда получим первое уравнение СФМ в виде

image 19215

2) во втором уравнении СФМ нет переменных image 19216и image 19218. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа.

Первый этап: выразим image 19216в данном случае из первого или третьегоуравнения ПФМ. Например, из первого уравнения

image 19221

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует image 19218, которого нет в СФМ. Выразим image 19218из третьего уравнения ПФМ

image 19222

Подставим его в выражение для image 19216

image 19225

Второй этап: аналогично, чтобы выразить image 19218через искомые image 19228и image 19211, заменим в выражении image 19218значение image 19216на полученное из первого уравнения ПФМ

image 19231

image 19232

Подставим полученные image 19216и image 19218во второе уравнение ПФМ

image 19233

В результате получаем второе уравнение СФМ

image 19234

3) из второго уравнения ПФМ выразим image 19211, так как его нет в третьем уравнении СФМ

image 19235

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ

image 19236

В результате получаем третье уравнение СФМ

image 19237

Таким образом, СФМ примет вид

image 19238

Пример задачи с уравнением №4.2.3.

Изучается модель вида

image 19239

где image 19240— валовый национальный доход;

image 19241— валовый национальный доход предшествующего года;

image 19242— личное потребление;

image 19243— конечный спрос (помимо личного потребления); image 19244и image 19245— случайные составляющие.

Информация за девять лет о приросте всех показателей дана в таблице 4.2.1.

image 19247

Для данной модели была получена система приведенных уравнений

image 19248

Решение:

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при image 19250и image 19251наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная image 19249. Переменная image 19250в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной image 19251. В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: 1 + 1 = 2: image 19257. Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверхидентифицирована.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной image 19250. Для этого в приведенное уравнение

image 19261

подставим значения image 19243и image 19252имеющиеся в условии задачи. Полученные значения обозначим image 19263(табл. 4.2.2).

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения image 19250, на теоретические image 19264и рассчитываем новую переменную image 19265(табл. 4.2.2).

image 19266

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную image 19265через image 19268. Решаем уравнение image 19269. С помощью МНК получим image 19270. Запишем первое уравнение структурной модели

image 19273

Пример задачи с уравнением №4.2.4.

Рассматривается следующая модель:

image 19275

image 19294и image 19295— случайные ошибки.

В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложить способ оценки ее параметров.

Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?

Решение:

Модель включает четыре эндогенные переменные image 19296и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные — image 19284и image 19291( и две лаговые эндогенные переменные — image 19285и image 19297).

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

Это уравнение включает две эндогенные переменные ( image 19277и image 19280) и одну предопределенную переменную (image 19285). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3 + 1 > 2. Уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение включает две эндогенные переменные image 19298и не включает три предопределенные переменные. Как и 1-е уравнение, оно сверхидентифицировано.

3-е уравнение тоже включает две эндогенные переменные image 19299и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

Это уравнение представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели

image 19300

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее числа эндогенных переменных модели минус 1, т. е. 4-1=3.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

image 19301

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

image 19302

Достаточное условие идентификации для 1-го уравнения выполняется.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

image 19303

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3×3 этой матрицы не равен нулю

image 19304

Достаточное условие идентификации для 2-го уравнения выполняется.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение

image 19305

Ее ранг равен трем, так как имеется квадратная подматрица 3×3 этой матрицы, определитель которой не равен нулю.

Достаточное условие идентификации для 3-го уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Для оценки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый МНК.

Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде

image 19306

где image 19307— случайные ошибки.

Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным МНК. Затем найдем расчётные значения эндогенных переменных image 19308используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое равнение приведенной формы соответствующее значение предопределенных переменных.

Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями

image 19309

Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный МНК, определим структурные параметры

image 19310

Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная image 19291). Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу — переменная image 19280, станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной image 19281, от эндогенной переменной image 19311(которая зависит только от предопределенных переменных) и предопределенной переменной image 19292. Таким образом, мы получим рекурсивную систему. Ее параметры можно оценивать обычным МНК, и нет необходимости исследования системы уравнений на идентификацию.

Возможно эти страницы вам будут полезны:

1 1

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Моя дача
Adblock
detector